中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第13讲复数与三角函数.doc

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数学高考综合能力题选讲13

复数与三角函数
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

复数与三角有着极为密切的关系，将二者融合在一起考查，历来为命题者所青睐．考查的题型往往结合辐角主值、积化和差、和差化积公式等命制．

范例选讲

例1 已知，且，，求的值．
讲解：由于涉及到辐角主值与模，所以，不妨将写成三角形式．
由，

且，所以，．
又，，所以，
，．
又，
所以．
又由可知：，所以，．
所以，．
点评：本题的突破口在于对，的处理．由于分别涉及到角α，β，且互不相关，所以只需将分别化为三角形式即可．

例2 已知复数满足，且，求的值．
讲解：设复数的三角形式去解本题是常规思路．
设，
因为，所以，

和差化积，得，
所以，．
所以，．
点评：如果注意到模为1的复数的特性：，则由可得：，即，也即．所以，．
例3 已知．
（1） 当为何值时，取得最大值，并求此最大值．
（2） 若，求（用表示）．
讲解：（1）

所以，当时，取最大值．
（2）要求，可以把写成三角形式，但较为困难，故可先求出的正切值．设=α，则由于
=
所以，．
因为，
所以，的实部=〉0，的虚部=．
当时，<0，Z所对应的点位于第四象限．由于，所以，=α．
当时，≥0，Z所对应的点位于第一象限（或x轴正半轴）．由于，所以，=α．
点评：正确解答本题，一要注意到辐角主值的范围，二要注意到正切函数在上并非单值函数，三要正确运用诱导公式．

高考真题

1． （1999年全国高考） 设复数z＝3cosθ＋2isinθ,求函数y＝θ－argz(0＜θ＜的最大值以及对应的θ值．
2．（2001年全国高考）已知复数，
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）当复数满足，求的最大值．
[答案与提示：1．当θ=arctan时，y取得最大值arctan；　2．（Ⅰ）=，=；（Ⅱ）的最大值为+1．]

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