中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第15讲立体几何中的有关证明.doc

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数学高考综合能力题选讲15

立体几何中的有关证明
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。

范例选讲

例1． 已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。
（1）求证：AC⊥面BB’C’C。
（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。

讲解：（1）∵ B’D⊥面ABC，AC面ABC，
∴ B’D⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩B’D=D，
∴ AC⊥面BB’C’C。
（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。
因为B’D⊥面ABC，所以，就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。
由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。
即当α=时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。

例2． 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。
（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；
（2）求二面角的平面角的正切值。

讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。
首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。
∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，
∴ DE在平面ABCD内的射影就是DC。
在正方形ABCD中，DC⊥CB，
∴ DE⊥CB。
又，，
∴ DE⊥。
又面EDB，
∴ 平面EDB⊥平面PBC。
（2）由（1）的证明可知：DE⊥。所以，就是二面角的平面角。
∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，
又平面ABCD内的直线CB⊥ DC。
∴ CB⊥面PDC。
又面PDC，
∴ CB⊥PC。
在Rt中，。

点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。

例3．如图：在四棱锥中，⊥平面，∠，，，为的中点。
（1）求证：平面；
（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？

讲解：题目中涉及到平面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明CE平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。
（1）延长BC、AD交于点F。
在中，∠，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，所以，∽。又，，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。
又因为为的中点，所以，EC为的中位线，所以，EC//SF。
又，，所以，平面。
（2）因为：⊥平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，，所以，AB面。
过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面角。
在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。
此时，在SAF中，，所以，。
在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则
h=
因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即。

点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。

高考真题

1．（2002年北京高考）如图：在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上下底面矩形的长、宽分别为与，且，两底面间的距离为。
（1）求侧面与底面所成二面角的大小；
（2）证明：
（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算。已知它的体积公式是。
试判断与的大小关系，并加以证明。
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

2.(1997年全国高考)如图,在正方体中,E,F分别是的中点.
Ⅰ.证明AD⊥;
Ⅱ.求AE与所成的角;
Ⅲ.证明面AED⊥面;
Ⅳ.设＝2,求三棱锥的体积

[答案与提示：1. （1）；（3）。 2. （2）90º； （4）=1。]
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