中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第15讲立体几何中的有关证明.doc

Doc521资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲15立体几何中的有关证明100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。范例选讲例1 已知斜三棱柱ABC-ABC的底面是直角三角形，C=90，侧棱与底面所成的角为（090），B在底面上的射影D落在BC上。（1）求证：AC面BBCC。（2）当为何值时，ABBC，且使得D恰为BC的中点。讲解：（1） BD面ABC，AC面ABC， BDAC，又ACBC，BCBD=D， AC面BBCC。（2）由三垂线定理知道：要使ABBC，需且只需AB在面BBCC内的射影BCBC。即四边形BBCC为菱形。此时，BC=BB。因为BD面ABC，所以，就是侧棱BB与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。即当=时，ABBC，且使得D恰为BC的中点。例2 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB平面PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。 面PDC底面ABCD，交线为DC， DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DCCB， DECB。又， DE。又面EDB， 平面EDB平面PBC。（2）由（1）的证明可知：DE。所以，就是二面角的平面角。 面PDC底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB DC。 CB面PDC。又面PDC， CBPC。在Rt中，。点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。例3如图：在四棱锥中，平面，为的中点。（1）求证：平面；（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？讲解：题目中涉及到平面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明CE平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长BC、AD交于点F。在中，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD/AB，所以，。又，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。又因为为的中点，所以，EC为的中位线，所以，EC/SF。又，所以，平面。（2）因为：平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，所以，AB面。过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面角。在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。此时，在SAF中，所以，。在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则h=因为AB/DC，所以，AB/面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即。点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。高考真题1（2002年北京高考）如图：在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上下底面矩形的长、宽分别为与，且，两底面间的距离为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）证明：（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算。已知它的体积公式是。试判断与的大小关系，并加以证明。（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面） 2.(1997年全国高考)如图,在正方体中,E,F分别是的中点.证明AD; .求AE与所成的角; .证明面AED面;.设2,求三棱锥的体积答案与提示：1. （1）；（3）。 2. （2）90； （4）=1。Doc521资料分享网(D) 资料分享我做主！