中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第09讲数列综合问题.doc

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数学高考综合能力题选讲9

数列综合问题
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

在知识网络的交汇点处设计试题是近年来高考命题的特点．数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式、函数、解析几何等知识综合在一起，成为高考命题的热点．

范例选讲

例1 已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．
（Ⅰ）求证：点的纵坐标是定值；
（Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；
（Ⅲ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题．对于（Ⅰ），直接验证即可；对于（Ⅱ），观察的构成：
，
可知（Ⅰ）的结论又为（Ⅱ）作了铺垫；对于（Ⅲ），则应在（Ⅱ）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决．总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（Ⅰ）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键．
（Ⅰ）由题可知：，所以，

点的纵坐标是定值，问题得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立．
由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：

所以，
所以，
（Ⅲ）∵， ∴
∴等价于 ①
依题意，①式应对任意恒成立．
（1） 当时，①式显然不成立，因此不合题意．
（2） 当时， ，所以，只需对任意恒成立，而当为偶数时，不成立，因此，不合题意．
（3） 当时，因为（），所以，需且只需对任意恒成立．即：对恒成立．
记（）．
∵ ，
∴ （）的最大值为，
∴ ．
点评：对于“恒成立”的问题，往往采用分离变量的方法，转化为求某一函数的最值．

例2 已知函数与函数的图像关于直线对称．
（Ⅰ）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；
（Ⅱ）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．

讲解：本题条件繁多，内容涉及解析几何、函数、数列多个方面，因此，我们首先需要仔细阅读题目，并根据题设理清思路，从繁杂的条件中选取有用的信息，把握问题的实质：实际上，本题的实质仍然是数列问题，解析几何和函数只是起到一种伪装的作用．
（Ⅰ）由题可知：与函数互为反函数，所以，
，
（Ⅱ）因为点在函数的图像上，所以，
(*)
在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．
所以，，(*) 式可化为：
①
（Ⅲ）直线的方程为：，，
在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以，
=
结合①式可得： ②
由①可知：当自然数时，，，两式作差得：．
结合②式得：
③
在③中，令，结合，可解得：，
又因为：当时，，所以，舍去，得．
同上，在③中，依次令，可解得：，．
猜想： ．下用数学归纳法证明．
（1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．
（2）假设时命题成立，即，则由③式可得：

把代入上式并解方程得：
由于，所以，，所以，不符合题意，应舍去，故只有．
所以，时命题也成立．
综上可知：数列的通项公式为

点评：演绎和归纳是解决数列问题的常用方法；解决综合题的策略往往是把综合问题分解成几部分，然后各个击破．

高考真题

1. （1995年全国高考）设是由正数组成的等比数列,是其前n项和,
（Ⅰ）证明:()＜；
（Ⅱ）是否存在常数c＞0,使得[lg(－c)＋lg(－c)]＜lg(－c)成立?并证明你的结论.
2. （1999年全国高考）已知函数的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n＋1(n＝0,1,2,…)时,该图象是斜率为的线段(其中正常数≠1),设数列由＝(＝1,2,…)定义
（Ⅰ）求和的表达式；
（Ⅱ）求的表达式,并写出其定义域；
（Ⅲ）证明的图象与的图象没有横坐标大于1的交点．

[答案与提示：1．不存在满足题意的常数．　2．（Ⅰ） ；（Ⅱ）当时，的定义域为，当时，的定义域为；（Ⅲ）略．]

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