九年级数学上册 2.1 第二章1花边有多宽（1-9课时）教案 北师大版.doc

第二章一元二次方程第一课时1、花边有多宽学习目标：1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。重点：认识产生一元二次方程知识的必要性难点：列方程的探索过程教学过程：一、简要回顾，方程思想简要回顾方程知识，方程在生活中的应用，以及用方程思想解决实际问题时的大致思路：1、 把待求的量用字母表示出来；2、 把已知量与未知量放在同等地位进行运算；3、 寻求建立等量关系4、 解方程（组）体会感悟：往往解决一个未知数的问题，就需要建立一个等量关系；解决两个未知数的问题，则需要建立两个等量关系。二、展示素材，创设情境在处理下面的每一个素材时，都带领学生经历探求思路、建立方程、分析特点三个过程，并从中激发学生的学习兴趣。1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？ 2、趣味数学口算：这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为难题的名画中写在教室黑板上的一道题，此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。拉钦斯基（18361902）一度曾在大学中任自然科学教授，后来辞去大学的职务，成为一名普通的乡村教师，在这期间，对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。从惊奇与趣味中激发学生思考：这样的数组还有吗？如何求解？设未知数的技巧。联想勾股定理中：，3、梯子移动如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？及时教育学生，要学会用数学的眼光观察生活中的现象，培养自己发现问题与解决问题的能力。4、莲花问题平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲。出泥不染婷婷立，忽被强风吹一边。渔人观看忙向前，花离原位两尺远。能算诸君请解题：湖水如何知深浅？此诗出自十二世纪印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 11141185）之手。诗文简洁，数学內容也不太难。同时，也可介绍九章算术第九章第六题“葭生中央”问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何。三、观察归纳，抽象命名从上面的几个素材中可以看出，这类方程在生活中大量出现，回忆前面在学习“黄金分割”时，我们曾经得到方程，其中，这是如何解出的，当时我们不得而知，但数学应该而且必定能为生活服务，因此我们很有必要对这类方程作一个系统的研究。上述三个方程有什么共同特点？上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为（a、b、c为常数，a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程注：形式上是一元二次方程，但化简整理后的方程却未必是一元二次方程，例如“印度莲花问题”，其实这仅仅是知识上的简单分类，目的是便于语言叙述与更有利于知识学习，因此没有必要过多计较。四、学生编题，深化理解在感受前面四个素材及归纳一元二次方程形式特点的基础上，启发学生编拟一条与自己身边生活有关的应用题，使列出来的方程是一元二次方程。五、随堂练习，及时巩固从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。六、交流体会，概括总结新课结束后，让学生回忆总结本节课学了哪些知识？有什么体会？在本节课中，对自己及其他同学们的学习表现满意吗？对数学这门课有什么感想？第二课时课 题2.2、配方法(一)课型新授课教学目标1会用开平方法解形如(x十m)n(n0)的方程2理解一元二次方程的解法配方法教学重点利用配方法解一元二次方程教学难点把一元二次方程通过配方转化为(x十m)n(n0)的形式教学方法讲练结合法教学后记教 学 内 容 及 过 程学习活动一、复习：1、解下列方程：（1）x2=4（2）(x+3)2=92、什么是完全平方式？利用公式计算：（1）(x+6)2（2）(x)2注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。3、解方程：（梯子滑动问题）x2+12x15=0二、解：x十12x一150，1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？2、解方程的基本思路（配方法）如：x2+12x15=0转化为 (x+6)2=51两边开平方，得 x+6=x1=6x2=6(不合实际)3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x212x+=(x )2（3）x2+8x+=(x+ )2从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。4、讲解例题：例1：解方程：x2+8x9=0分析：先把它变成(x+m)2=n （n0）的形式再用直接开平方法求解。解：移项，得：x2+8x=9配方，得：x2+8x+42=9+42（两边同时加上一次项系数一半的平方）即：(x+4)2=25开平方，得：x+4=5即：x+4=5，或x+4=5所以：x1=1，x2=95、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。三、课堂练习课本P49随堂练习 11解下列方程(1) x一l0x十257；(2) x十6x1.四、课时小结五、课后作业(一)课本P49习题23 l、2 (二)1预习内容P49P52板书设计：一、 直接开平方法二、 配方法三、 例题四、 练习五、 小结（1）x土2(2)x十3士3，x十33或x十3一3，x0，x一6这种方法叫直接开平方法(x十m) n(n0)因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n0 时，两边开平方便可求出它的根。（1）x1=5+x2=5（2）x1=3+x2=3这节课我们研究了一元二次方程的解法： (1)直接开平方法 (2)配方法第三课时课 题2.2、配方法(二)课型新授课教学目标1会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程2了解用配方法解一元二次方程的基本步骤教学重点用配方法求解一元二次方程教学难点理解配方法教学方法讲练结合法教学后记教 学 内 容 及 过 程学生活动一、复习：1、什么叫配方法？2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。3、解方程：（1）x2+4x+3=0（2）x24x+2=0二、新授：1、例题讲析：例3：解方程：3x2+8x3=0分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。解：两边都除以3，得： x2+x1=0移项，得：x2+x = 1配方，得：x2+x+()2= 1+()2（方程两边都加上一次项系数一半的平方） (x+)2=()2即：x+=所以x1=，x2=32、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。（4）用直接开平方法求出方程的根。3、做一做： 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15 t5t2小球何时能达到10m高？三、巩固：练习：P51，随堂练习：1四、小结：1、用配方法解一元二次方程的步骤。（1）化二次项系数为1；（2）移项；（3）配方：（4）求根。五、作业：（一）课本P52习题2.4 1、2（二）预习内容：P53P54板书设计： 六、 解方程七、 做一做，读一读八、 课时小结九、 课后作业学生回答演板由学生共同小结这节课我们利用配方法解决了二次项系数不为1或者一次项系数不为偶数等较复杂的一元二次方程，由此我们归纳出配方法的基本步骤第四课时课 题2.2、配方法(三)课型新授课教学目标1利用方程解决实际问题2训练用配方法解题的技能教学重点利用方程解决实际问题教学难点对于开放性问题的解决，即如何设计方案教学方法分组讨论法教学后记教 学 内 容 及 过 程学生活动一、复习：1、配方：（1）x23x+ =(x )2（2）x25x+ =(x )22、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？3、用配方法解下列一元二次方程？（1）3x21=2x(2)x25x+4=0二、引入课题：我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：三、出示思考题：1、如图所示：（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？（2）一元二次方程的解是什么？（3）这两个解都合要求吗？为什么？2、设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？ （2）一元二次方程的解是什么？（3）合符条件的解是多少？3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。四、练习：P56随堂练习看课本P53P54，然后小结五、小结：1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。2、设计方案时，关键是列一元二次方程。3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。六、作业：（一）P56，习题2.5，1、2（二）预习内容：P56P57 板书设计：一、 设计方案二、 练习三、 小结 1、2学生口答学生演板阅读课本观察与思考(16-2x) (12-2x)= 1612x1=2 x2=12x1=2合要求， x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。x2=1216X1=5.5X25.5X1=5.51）花园为菱形（2）花园为圆形？（3）花园为三角形 （4）花园为梯形本节课我们通过列方程解决实际问题，进一步了解了一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并且知道在解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。另外，还应注意用配方法解题的技能第五课时课 题23 公式法课型新授课教学目标1一元二次方程的求根公式的推导2会用求根公式解一元二次方程教学重点一元二次方程的求根公式教学难点求根公式的条件：b-4ac0教学方法讲练结合法教学后记教 学 内 容 及 过 程学生活动一、复习1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程：x27x18=0二、新授：1、推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a0)解：方程两边都作以a，得 x2+x+=0移项，得： x2+x=配方，得：x2+x+()2=+()2即：（x+）2=a0，所以4a20当b24ac0时，得x+=x=一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)当b24ac0时，它的根是 x=注意：当b24ac0x= 即：x1=9, x2 =2例：解方程：2x2+7x=4解：移项，得2x2+7x4=0 这里，a=1 , b=7 , c=4b24ac=7241(4)=810x=即:x1=x2=4三、巩固练习：P58随堂练习：1、2四、小结：（1）求根公式：x= （b24ac0）（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤五、作业：（一）P59 习题2.6 1、2（二）预习内容：P59P61板书设计：一、 复习二、 求根公式的推导三、 练习四、 小结五、 作业学生演板x1=9,x2=2注意：符号这里a=1，b=7，c=18学生小结步骤: (1)指出a、b、c （2）求出b24ac (3)求x （4）求x1, x2看课本P56P57，然后小结这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法公式法。 （1）求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用。对于a0，知4a0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理。 （2）应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b4ac的值。当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程第六课时课 题24 分解因式法课型新授课教学目标1能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。教学重点掌握分解因式法解一元二次方程。教学难点灵活运用分解因式法解一元二次方程。教学方法讲练结合法教学后记教 学 内 容 及 过 程学生活动一、回顾交流课堂小测用两种不同的方法解下列一元二次方程。1. 5x-2x-1=0 2. 10(x+1) -25(x+1)+10=0观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？分析小颖、小明、小亮的解法：小颖：用公式法解正确；小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。二、范例学习例：解下列方程。1. 5x=4x 2. x-2=x(x-2)想一想你能用几种方法解方程x-4=0,(x+1)-25=0。三、随堂练习随堂练习 1、2拓展题分解因式法解方程：x-4x=0。四、课堂总结 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。五、布置作业P62 习题2.7 1、2板书设计：一、 复习二、 例题三、 想一想四、 练习五、 小结 六、 作业学生练习。注：课本中，小颖、小明、小亮的解法由学生在探讨中比较，对照。概念：课本议一议，让学生自己理解。解：（1）原方程可变形为： 5x24x=0x(5x4)=0x=0或5x=4=0x1=0或x2=(2)原方程可变形为 x2x(x2)=0(x2)(1x)=0x2=0或1x=0x1=2，x2=1（1）在一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。（2）分解因式时，用公式法提公式因式法第七课时分解因式法教学目标：1、会用分解因式法（提公因式，公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。2、能根据具体的一元一次方程的特征灵活选择方法，体会解决问题方法的多样性。教学程序：一、复习：1、一元二次方程的求根公式：x= （b24ac0）2、分别用配方法、公式法解方程：x23x+2=03、分解因式：（1）5 x24x（2）x2x(x2)(3) (x+1)225二、新授：1、分析小颖、小明、小亮的解法：小颖：用公式法解正确；小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。2、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。3、例题讲析：例：解下列方程：(1) 5x2=4x(2) x2=x(x2)解：（1）原方程可变形为： 5x24x=0 x(5x4)=0x=0或5x=4=0 x1=0或x2=(2)原方程可变形为 x2x(x2)=0 (x2)(1x)=0x2=0或1x=0 x1=2，x2=14、想一想你能用分解因式法简单方程 x24=0(x+1)225=0吗？解：x24=0(x+1)225=0 x222=0(x+1)252=0 (x+2)(x2)=0(x+1+5)(x+15)=0 x+2=0或x2=0x+6=0或x4=0x1=2, x2=2x1=6 , x2=4三、巩固：练习：P62 随堂练习 1、2四、小结：（1）在一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。（2）分解因式时，用公式法提公式因式法五、作业：P62 习题2.7 1、2六、教学后记：第八课时课 题25 为什么是0.618课型新授课教学目标1经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。2通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。教学重点掌握运用方程解决实际问题的方法。教学难点建立方程模型。教学方法讲练结合法教学后记教 学 内 容 及 过 程学生活动一、 回顾交流课堂小测1、用适当的方法解一元二次方程。（1）5x(x-3)=21-7x （2）9(x-)=4(2x+1) （3）2x-5x+1=0 （4）3x+7x+2=02、问题情境：同学们还记得黄金分割吗？你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的吗？与同伴交流。如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？二、范例学习由=，得AC2=ABCB设AB=1， AC=x ，则CB=1xx2=1(1x) 即：x2+x1=0解这个方程，得x1= , x2=（不合题意，舍去）所以：黄金比=0.618例1：P64 题略（幻灯片）（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）解：（1）连接DF，则DFBC，ABBC，AB=BC=200海里AC=AB=200海里，C=45CD=AC=100海里DF=CF，DF=CDDF=CF=CD=100=100海里所以，小岛D和小岛F相距100海里。（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里EF=AB+BC（AB+BE）CF=（3002x）海里在RtDEF中，根据勾股定理可得方程：x2=1002+(3002x)2整理得，3x21200x+100000=0解这个方程，得：x1=200118.4x2=200+(不合题意，舍去)所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。三、随堂练习课本随堂练习 1探索题某商场一月份销售额为70万元，二月份下降10%，后改进管理，月销售额大幅度上升，四月份的销售额达112万元，求三月、四月平均每月增长的百分率。四、课堂总结 列方程解应用题的关键在于找未知量与已知量之间的相等关系，正确合理地建立模型。在分析数量关系时，一般可采用一些辅助手段，如“列表法”、“译式法”、“图示法”等。五、布置作业课本练习 1、2板书设计：一、 黄金分割二、 例题三、 练习四、 小结五、 作业学生演板0.618方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式注意：黄金比的准确数为，近似数为0.618.学生理解领会，参与分析。学生独立练习。列方程解应用题的三个重要环节：1、整体地，系统地审清问题；2、把握问题中的等量关系；3、正确求解方程并检验解的合理性。第九课时第二章 一元二次方程复习教案 【教学目标】1、 通过画知识框图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；2、 通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点；3、 通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法；4、 通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用。【教学重点】 理解并掌握一元二次方程的概念及解法，会运用方程模型解决实际问题。【教学难点】 对于背景较复杂、等量关系不太明显的实际问题的解决。【教学方法】脑图及典型题的归纳与整理直接影响课堂效果，对于背景较复杂、等量关系不太明显的实际问题用一元二次方程的模型加以解决。【教学过程】过程学生活动教师活动设计意图一整理1. 根据脑图，梳理本章知识点；2. 说说各知识点对应的典型题；3. 小组交流：我的易错点（如何避免）教师及时补充、引导让学生自主建构本章知识点，形成知识网络二 自主问题探究二 典型问题复习【问题1】当m是何值时，关于x的方程（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x=-2是它的一个根，求m的值。【问题2】(1)仔细观察下列各方程的特征，说说它们各自适宜采用什么解法？（2） 请在下式的横线处填入一个整式：x26x+_=0，使它分别最适合用直接开方法、因式分解法、配方法、公式法来解答。（3） 解方程: 【问题3】（课本P.44第13题）一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（m）和经过的水平距离d（m）可用公式h=d-0.004d2来估计。（1） 当球的水平距离达到100m时，球上升的高度是多少？（2） 当球第一次达到40m高时，球的水平距离是多少？【问题4】（课本P.45第14题）某租赁公司拥有汽车100辆。据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆。租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每辆每月只需维护费50元。（1） 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？（2） 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？前十分钟，巡视学生解答情况，个别答疑，后五分钟，组织学生交流问题1至2，帮助学生提示解题规律，总结解题方法。前十分钟，巡视学生解答情况，个别答疑，后五分钟，对于问题3、4进行引导式交流，即先带领学生审题（配图），帮助学生理解再让学生交流问题3与4的解决方法，关注学生解题思路的寻找分析。问题1复习一元二次方程的概念及解的概念问题2(1)让学生进一步熟悉根据方程特征采用适当的解法，（2）让学生进一步体会各种解法之间的联系，及熟练地根据方程特征选择适当解法；(2)让学生进一步学习利用换元法达到降次目的解方程的方法，体会转化思想。问题3表面上看虽是解一元方程的实际应用。但较明显地体现了方程与函数联系，为以后学习二次函数打下基础。问题4体现了用一元二次方程解决实际问题的方程思想。并尝试从比较复杂的问题背景中抽象出数学本质。突出教师指导地位，进一步提升学生的思维品质与数学素养。三分层练习一、 基础练习1.关于x的一元二次方程(2x-m)(mx+1)=(3x+1)(mx-1)中：（1） 二次项系数是，一次项系数是；（2） 若方程有一根是x=0，则m= ，另一个根是 。2.已知a，b，c是ABC的三边，且关于x的方程有两个相等的实数根，则ABC是（ ）A. 等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.无法判断3.已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长是a=1，另外两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求这个三角形的周长。4.某科技公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，签定的合同约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8，该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元。若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。二、拓展提升1.已知关于x的方程 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。PQ2.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4。点P从点A开始沿ABCD以2/s的速度移动，与此同时点Q从点B开始沿BCD以1/s的速度移动。如果点P，Q分别从点A，B同时出发。（1） 若PBQ的面积为32，求动点运动的时间；（2） PBQ的面积能否为12，若能，求出运动时间；若不能，请说明理由。分层练习、各学所需、各有所获四小结回顾整理今日收获，填补学案回顾知识框架图，