七年级数学有理数的各种知识百科.doc

有理数的运算【教学结构】由于负数的引入。使数的范围扩大到了有理数，这样对有理数运算的研究就成为我们要进行的主要课题。下面我们将逐一进行研究。1有理数的加法有理数的加法法则是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加，仍得这个数。在有理数范围内，加法的交换律和结合律仍然成立。对三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加。利用加法的运算律可以简便运算，除了小学已经知道的凑整、同分母先算外，还可以正、负数分别先算，互为相反数结合在一起后再相加等。如计算 2有理数的减法由于减法是加法的逆运算，如ab=c就是已知两个数的和a与一个加数b，求另一个加数c的运算。因此，有理数的减法运算可以转化为加法去作，得到有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即ab=a+(b), a(b)=a+b。“”号在小学时已经知道它是运算符号“减”，学习了正负数的概念后，“”号又是性质符号“负”。根据减法法则，对(8)(7)+(2)(+1)可以转化为(8)+(+7)+(2)+(1)，象这种把加减统一写成加法的式子叫做有理数的代数和。上面(8)+(+7)+(2)+(1)又可以写为8+721叫做省略加号的代数和，即各个加号省略不写，每个数的括号也可以省略，读作“负8、正7、负2、负1的和”或“负8加7减2减1”。运用加法交换律交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。如125+7应变为12+75，而不能变成127+5。3有理数的乘法小学时我们已经学过正数的乘法，对于正数和负数相乘的意义，如2(3)可以看作是水库的水位下降记为负量。若每小时下降3cm，2个小时就下降了6cm，表示为6cm，也就是说2(3)=6。也就得到了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。即确定符号后把绝对值相乘。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。关于乘号的三种形式“”，“”，“省略不写”。对“”和“省略不写”只能在适当的时候用。如“54”可以写成“(5)(4)”但不能写为“54”。“1”不能写成“1”。另外，乘法的运算律（乘法交换律、乘法结合律、分配律）在有理数运算中仍然成立，并可以简便运算。在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。如 4有理数的除法我们知道，除法是乘法的逆运算，在ab=c中，如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a，或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法。根据除法的这种含意，我们得到有理数的除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。即ab=a(b0)。由上面可知，有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。小学时我们曾学过倒数的概念，在有理数范围内，我们也把乘积是1的两个数叫作互为倒数。如2与互为倒数，因为2()=1。由倒数的定义可知，一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。0为什么没有倒数呢？0没有倒数的原因有两个：若0能作除数，有=b(a0)，则有0b=a，这样的b不存在。若=b(a=0)，则有0b=a，作为商b不唯一确定。所以0不能作除数，也就没有倒数。5有理数的乘方在有理数的乘法运算中，有一类各因数都相同的特殊的形式，如(2)(2)，为了简便起见，可以写成=(2)(2)= (2)2。一般地，几个相同的因数a相乘，即aaaa，记作an。这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方。an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。 an 指数幂底数如(5)2，底数是5，指数是2，(5)2=25，读作5的二次方或5的二次幂。一个数可以看作这个数本身的一次方。例如，5就是51，指数1通常略去不写。二次方也叫平方，三次方也叫立方。由22=4，(2)2=4，02=0可知“一个数的平方是一个非负数。”要注意(2)424，3232，3223，(23)2232。由乘法法则可知“正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。”有了乘方运算后，运算顺序是先乘方，再乘除。后加减。若有括号，先算括号里面的。6科学记数法n个把一个数表示成为a10n的形式叫做科学记数法。(1a10)，目前只研究n0的情况。由101=10，102=100，103=1000，10n=10000，我们可以知道，要把一个数写成科学记数法，10的指数比原数的整数位数小1。如原数有4位整数，指数就是3。例如把320000用科学记数法表示，由于它有6位整数，10的指数就是5，320000=3.2105。21.23=2.12310，因为21.23有两位整数，10的指数就是1。科学记数法的好处是读、写、计算、记忆方便。特别是对很大或很小的数，像地球的半径，头发丝的半径等等。7近似数和有效数字关于数的位数小学已经学过，如 2 1 1 7 2 6 8 对2.1这个近似数小学的提法有“精确到十分位”或“精确到0.1”或“保留小数点后一位”。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。如25万精确到万位，0.025精确到千分位。近似数的误差是一个取值范围，如近似数25表示24.52526.5。其误差不大于（即小于或等于0.5。我们把64340精确到万位是60000，把60340精确到千位也是60000。虽然后者的精确度高，但结果却体现不出来。就需要引进新的概念来表示近似数，就有了有效数字的概念。一个数从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位上，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。如3.00318有六位有效数字，0.00318有3个有效数字，0.003180有4个有效数字。对有效数字的概念，一定要注意“前面的0”不计，“中间的0”和“后面的0”要计算在内。如上面提到的0.003180有4个有效数字而不是3个。对于有效数字末位是0的意义，可从学生的身高来理解。某学生甲身高1.5m，是指他的身高范围是1.45m1.55m之间，即1.451.51.55。某学生乙身高1.50m，是指他的身高范围是1.495m1.505m之间，即1.4951.501.505。也就是说身高1.50m，表示的误差小，更精确地表示出本人的身高。现在我们知道，用有效数字来表示近似数，能够体现出近似数的精确度。如上面提到的64340精确到万位是6104（保留一个有效数字），60340精确到千位是6.0104（保留二位有效数字）。【解题点要】例（1）计算分析：由于上题中有互为相反数的和+，同分母的4和3.2（3.2=3），可以利用加法的交换律和结合律先分别计算出它们的值，使运算简便。解： 提问：什么样的两个数的和等于0？什么样的两个数的和等于正数？什么样的两个数的和等于负数？互为相反数的两个数的和等于0。绝对值较大的加数是正数的两个数的和等于正数。绝对值较大的加数是负数的两个数的和等于负数。例（2）计算分析：先根据减法法则去掉括号，写成省略加号的代数和。再利用加法交换律把同分母的项结合到一起进行计算。一定要注意交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。解：原式=提问：0减去一个有理数所得的差是什么？是这个有理数的相反数。例（3）计算 分析：小题先确定符号，有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。小题利用分配律进行计算。小题把化为再利用分配律进行计算。解：原式= 原式= 原式=例（4）计算 分析：小题可以直接计算，也可以把写成24+后利用分配律进行计算。解：原式=1+0+6.5=5.5 原式= 原式=例（5）计算 分析：在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中，加、减叫作第一级运算，乘、除叫作第二级运算，乘方叫作第三级运算。没有括号时，先做第三级运算，再作第二级运算，最后做第一级运算。在同一级运算中，按照由左到右的顺序进行。有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。解：原式= 原式= 例（6）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有几个有效数字？43.8 0.03086 2.4万 1.60 1.38103分析：小题2.4万，表示成科学记数法是2.4104，精确到数字4所表示的这一位，即千位，有2个有效数字。有的学生会错误认为2.4万可以写成24000，有5个有效数字。由四舍五入得到的近似数2.4万。四舍五入到数字4所表示的这一位，就是精确到这一位，即千位。这也说明用有效数字表示近似数的精确度的好处。解：43.8精确到十分位，有3个有效数字。 0.03086精确到十万分位，有4个有效数字。 2.4万精确到千位，有2个有效数字。 1.60精确到百分位，有3个有效数字。 1.38103精确则十位，有3个有效数字。例（7）用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似数：47.62（精确到个位） 0.85149（精确到千分位） 1.5972（精确到0.01）0.02076（保留三个有效数字） 43670（保留一个有效数字）40470（保留二个有效数字）解：47.6248 0.851490.851 1.59721.60 0.020760.0208 436704104 404704.0104【课余思考】1一个有理数减0所得的差是什么？2两个有理数的差一定比被减数小吗？3互为相反数的两个数，它们的和是多少？差是多少？4两个数的和的相反数与这两个数相反数的和相等吗？5怎样的两个数的积为0？6一个数与1的积是多少？7什么数的平方等于它本身？8什么数的平方等于4？9一个数的平方能是负数吗？最小可能是多少？10 什么数的立方等于8？【同步练习】（一）填空1 =； （9）=2用语言叙述|ab| ；|a|b|可以叙述为 。3两个数的和是29，其中一个数比5的相反数小3，则另一个数是 。4若高度第增加1公里，气温就降低6，现在高度增加4.5公里，则气温就 。5比较大小（用符号“”，“”或“=”连接） |1| |2| |(1)(2)|，|53| |5|3|。6与它的负倒数的积是 。7计算： 。8n为自然数，则 ， 。（二）判断正误，正确的画“”，错误的画“”1整数包括0和自然数。（ ）2如果两个有理数的积是正数，那么它们的商也是正数。（ ）3任何有理数的奇次幂是负数。偶次幂是正数。（ ）4任何有理数m的相反数都可以用m表示。（ ）5两个有理数的和是正数，积是负数，那么这两个有理数中，绝对值大的是正数，而另一个是负数。（ ）6两个有理数和的绝对值一定等于它们绝对值的和。（ ）（三）计算1；2；3；4（四）当a=2，b=1，c=3时，求的值【单元测试题】（一）填空1计算：(72)+(+28)= ；0(1)= ；|32|+2|= ； ；0.52= 。20.25的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 。3绝对值小于3.7的所有非负整数有 ；在数轴上表示出来 。4把3，0.5，1，0，3.14用“”连接起来是 。5如果2.0682=4.277，则20.682= ；0.20682= 。6用四舍五入法得到2.14581精确到千分位的近似值是 ；这时它的有效数字有 个；如果保留三个有效数字，它的近似值是 。7如果数轴上B表示5，那么在数轴上与B点距离3个长度单位的点所表示的数是 。8平方得1的数有 ； 的立方得27。9最大的负整数是 ，最小的非负有理数是 ；绝对值最小的整数是 。10若用字母m表示整数，则m为中间数字的三个连续整数可表示为 。（二）判断正误，正确的画“”，错误的画“”1如果一个数的倒数是5，那么这个数的相反数是。（ ）215是负数，是整数，也是有理数。（ ）3如果两个有理数的和是正数，那么这两个有理数一定都是正数。（ ）4两个连续整数的乘积一定是偶数。（ ）5一个有理数的立方一定大于原数。（ ）（三）选择正确答案1，在这个运算中用了（ ） （A）加法交换律 （B）加法结合律 （C）加法交换律和结合律 （D）分配律2一个数的奇次幂是负数，那么这个数是（ ） （A）正数 （B）负数 （C）0 （D）不能确定3最小的正有理数是（ ） （A）1 （B）0.0001 （C）0 （D）不存在4如果|a|=2，那么a1的值是（ ） （A）3 （B）1 （C）3或1 （D）3或1（四）计算12345678点评：（一）大题第7小题“B表示5，那么在数轴上与B点距离3个长度单位的点所表示的数”应为5+3=2和53=8两个数。（二）大题第8小题“平方得1的数”应考虑12=1，(1)2=1，所以填“1”。（三）大题第4小题“如果|a|=2，那么a1的值是”，首先要求出a的值，由绝对值的概念可知，由于|a|=2，a=2或2。所以a1的值是1或3。【答案】【课余思考】 1是它本身。 2不一定。 3和为0；差是这两个数的绝对值的正二倍或负二倍。 4相等。 5至少其中有一个数为0。 6是这个数的相反数。 70和1。 82和2。 9不能；是0。 102。【同步练习】（一） 1；。 2a与b差的绝对值；a与b绝对值的差。 321。 4降低了27（或上升27）。 5=；。 61。 767。 8+1；1。（二）1。 2。 3。 4。 5。 6。（三）1。 236。 316。 41。（四）【单元测试题】（一）144；1；10；0.25。 20.25；4；0.25。 32，3，1，0。 4310.50.403.14。 5427.7；0.04277。 62.146；4；2.15。 78和2。 81；3。 91；0；0。 10m1，m，m+1。（二）1； 2； 3； 4； 5。（三）1C； 2B； 3D； 4C。（四）1。 2。 3。 4。 5。 6。 748。 86。