苏科版七年级数学有理数的乘法与除法教案.doc

有理数的乘法与除法一. 学习目标： 1. 掌握有理数乘法法则。 2. 掌握乘法的运算律。 3. 掌握有理数的除法及乘方运算。二. 重点、难点： 1. 乘除法法则的运用。 2. 混和运算。三. 教学内容：（一）有理数的乘法： 前面我们已经研究过有理数的加法运算和减法运算，今天，我们开始研究有理数的乘法运算。 先看这样的几个问题： （1）有理数包括哪些数？ 显然：有理数应包括正整数、正分数、负整数、负分数、零。 （2）小学中学过的乘法运算，属于有理数中哪些数的运算？ 小学时学过的乘法运算属于正有理数和零的运算。 根据小学时学过的乘法，研究下面几个问题： 以上这些题目，都是对正有理数与正有理数、正有理数与零的乘法。现在，数的范围已经扩大到有理数，出现了负数，又该怎样计算呢？ 先看这样一个问题： 一只小虫沿东西向的跑道，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么，它现在的位置位于原来位置的哪个方向？相距几米？ 分析：这里，如果咱们规定向东为正，向西为负，用小学时的乘法就可以知道为 即小虫在原来位置东边6米处。 但是，如果小虫以每分钟3米的速度向西爬行，又该怎样计算呢？ 我们知道，向西为负，因而小虫每分钟爬行的量应为-3米，而最后在西边6米。 发现：当我们把“32=6”中的一个因数“3”换成它的相反数“-3”时，所得的积是原来积“+6”的相反数“-6”，一般地，人们发现： 把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数。 下面咱们来看这样几个例子： （1）将32中第二个因数换成它的相反数（-2），得：3（-2），而其结果应该等于32的结果6的相反数-6，即有3（-2）=-6。 （2）将上式3（-2）=-6的第一个因数“3”换成它的相反数“-3”，得到（-3）（-2），而它的结果也应该为“-6”的相反数“6”，即有（-3）（-2）=6，另外，如果有一个因数是0，所得的积仍然是零。 观察这四个式子： 32=6 （1） （-3）2=-6 （2） 3（-2）=-6 （3） （-3）（-2）=6 （4） 我们发现：正数与正数相乘（例如（1）式），仍然得正；负数与负数相乘（例如（4）式）仍然得正；负数与正数相乘（例如（2）式），正数与负数相乘（例如（3）式）得到负数。由这几种可能，我们得到有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零。 注意：由上面的法则，咱们可以得到，要求两个有理数相乘的积，应该先确定积的符号，再确定积中除符号以外的绝对值。 例1. 计算下列各题： 分析：由上面的法则，我们可以知道，在算两个因数相乘积的时候，应该先找符号，再算绝对值。这里（1）中是正数和负数相乘，因而得负。（2）中是负数与负数相乘，因而得正。（3）中是负数和正数相乘，得负。（4）中是绝对值和正数相乘，而绝对值是正数，因而得正。 解： （二）有理数乘法的运算律： 小学时候，我们知道乘法满足交换律。例如： 26=62 而且还满足（35）2=3（52）=5（32） 但这两条规律全都是在正数范围里适用，现在，数的范围已经扩大到有理数范围内，这些规律是否依然成立呢？也就是说：上面式子中的2，6，3，5，2换成任意的有理数，是否依然成立？ 下面我们来研究这样两组问题： （1）3（-5）和（-5）3 根据乘法法则，知道3（-5）=-15 （-5）3=-15 因而咱们可以得到：3（-5）=（-5）3 （2）观察（-3）5 2和（-3）（52） 根据乘法的法则知道（-3）5 2=（-15）2=-30 （-3）（52）=（-3）10=-30 发现（-3）5 2=（-3）（52） 从上面的这两组例子我们可以发现： （1）两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 （2）三个数相乘，先把前面两个数相乘，或者先把后面两个数相乘，积不变。 如果用字母表示： （1）可表示成ab=ba （2）可表示成(ab)c=a(bc) 这里（1）就是乘法的交换律。（2）就是乘法的结合律。 根据以上的这两条法则，我们可以推出：三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘。 注意：上面的字母a、b、c可代表一切有理数，既可以是正数，还可以是负数。 看下面的例子： 分析：这里是多个有理数相乘，怎样乘简便呢？因而首先应该注意要先分组，这里我行计算。 解： 分析：这里共有5个因数，因而应当先作适当分组。这里我们发现： 所以这两个应两两在一组。 解： 小结：从上面两个例题可以发现，在分组的时候应注意这样三个问题： （1）如果在几个因数相乘时发现有倒数，应先把它们分到一组。 （2）如果在几个因数相乘时发现有两个因数相乘能得到整数或整十时，应把它们分到一组。 （3）如果发现几个因数当中有两个或多个因数可以约分时，应当把他们分到一组。 由上面例2. 我们可以得到： 观察：（1）式中有一个负因数，而积为负。 （2）式中有两个负因数，积为正。 （3）式中有三个负因数，积为负。 （4）式中有四个负因数，积为正。 由此，我们得到： 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数有奇数个时，积为负，当负因数的个数有偶数个时，积为正。 由上面的法则可以知道： 几个不等于零的因数相乘，首先确定积的符号，然后，再把每个因数的绝对值相乘。 这就是多个因数求积的常用方法。 由前面所学知识可以知道：几个因数相乘，有一个因数为零，积就为零。 解： 解： 在研究几个数相乘的规律后，我们来看下面的这组问题。 小学时，学习过乘法的分配律，数的范围扩大后，这个规律还成立吗？ 因而可以得到： 我们发现，有理数的乘法仍然满足分配律： 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 注意：这里a、b、c代表任何有理数。 （2）这里仅提出两个数，其实，如果将两个数改成多个数，结论仍然成立，即有a(b+c+d)=ab+ac+ad。 请同学们思考：a(b-c)=ab-ac是否成立呢？ 例6. 计算： 解： = 小结：乘法的分配律使用时，不是每道题都是非常标准的形式，有的需要作变形，才能使用。（三）有理数的除法： 先看这样一个问题：（-6）2 这也就是要求一个数“？”，使得 根据有理数乘法法则，可知 所以有（-6）2=-3 这表明除法可转化成乘法完成。 下面观察，并填空： 这里发现，除数和后面的这个因数相乘总是得1。 在有理数里，我们称乘积是1的两个数互为倒数。 称为倒数。 这样，有理数的除法都可转化成乘法。 除以一个数等于乘以这个数的倒数。 注意：零不能作除数。 因而我们得到与乘法法则类似的法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 零除以任何一个不为零的数，都得零。 例7. 计算： 解： 例8. 化简分数： 解： 例9. 计算： 解： 本课小结： 1. 本次课重点学习有理数的乘除法法则，应对法则加深理解。 2. 在作乘法分配律的时候，要注意怎么样使用分配律。【模拟试题】 计算： 【试题答案】