苏科版七年级数学有理数的乘法与除法教案.doc

有理数的乘法与除法
 一. 学习目标：
  1. 掌握有理数乘法法则。
  2. 掌握乘法的运算律。
  3. 掌握有理数的除法及乘方运算。
 二. 重点、难点：
  1. 乘除法法则的运用。
  2. 混和运算。
 三. 教学内容：
（一）有理数的乘法：
       前面我们已经研究过有理数的加法运算和减法运算，今天，我们开始研究有理数的乘法运算。
       先看这样的几个问题：
       （1）有理数包括哪些数？
       显然：有理数应包括正整数、正分数、负整数、负分数、零。
       （2）小学中学过的乘法运算，属于有理数中哪些数的运算？
       小学时学过的乘法运算属于正有理数和零的运算。
       根据小学时学过的乘法，研究下面几个问题：

    以上这些题目，都是对正有理数与正有理数、正有理数与零的乘法。现在，数的范围已经扩大到有理
数，出现了负数，又该怎样计算呢？
       先看这样一个问题：
       一只小虫沿东西向的跑道，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么，它现在的位置位于原来位置
的哪个方向？相距几米？
       分析：这里，如果咱们规定向东为正，向西为负，用小学时的乘法就可以知道为

    即小虫在原来位置东边6米处。
       但是，如果小虫以每分钟3米的速度向西爬行，又该怎样计算呢？
       我们知道，向西为负，因而小虫每分钟爬行的量应为-3米，而最后在西边6米。

    发现：当我们把“3×2=6”中的一个因数“3”换成它的相反数“-3”时，所得的积是原来积“+6”的
相反数“-6”，一般地，人们发现：
    把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数。
       下面咱们来看这样几个例子：
    （1）将3×2中第二个因数换成它的相反数（-2），得：3×（-2），而其结果应该等于3×2的结果6的
相反数-6，即有3×（-2）=-6。
       （2）将上式3×（-2）=-6的第一个因数“3”换成它的相反数“-3”，得到（-3）×（-2），而它
的结果也应该为“-6”的相反数“6”，即有（-3）×（-2）=6，另外，如果有一个因数是0，所得的积仍
然是零。
    观察这四个式子：
    3×2=6                        （1）
       （-3）×2=-6        （2）
       3×（-2）=-6        （3）
       （-3）×（-2）=6 （4）
       我们发现：正数与正数相乘（例如（1）式），仍然得正；负数与负数相乘（例如（4）式）仍然得
正；负数与正数相乘（例如（2）式），正数与负数相乘（例如（3）式）得到负数。由这几种可能，我们
得到有理数乘法法则：
       两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零。
       注意：由上面的法则，咱们可以得到，要求两个有理数相乘的积，应该先确定积的符号，再确定积
中除符号以外的绝对值。
  例1. 计算下列各题：

       分析：由上面的法则，我们可以知道，在算两个因数相乘积的时候，应该先找符号，再算绝对值。
这里（1）中是正数和负数相乘，因而得负。（2）中是负数与负数相乘，因而得正。（3）中是负数和正数
相乘，得负。（4）中是绝对值和正数相乘，而绝对值是正数，因而得正。
       解：

（二）有理数乘法的运算律：
       小学时候，我们知道乘法满足交换律。例如：
    2×6=6×2
       而且还满足（3×5）×2=3×（5×2）=5×（3×2）
       但这两条规律全都是在正数范围里适用，现在，数的范围已经扩大到有理数范围内，这些规律是否
依然成立呢？也就是说：上面式子中的2，6，3，5，2换成任意的有理数，是否依然成立？
       下面我们来研究这样两组问题：
       （1）3×（-5）和（-5）×3
       根据乘法法则，知道3×（-5）=-15
       （-5）×3=-15
       因而咱们可以得到：3×（-5）=（-5）×3
       （2）观察[（-3）×5] ×2和（-3）×（5×2）
       根据乘法的法则知道[（-3）×5] ×2=（-15）×2=-30
       （-3）×（5×2）=（-3）×10=-30
       发现[（-3）×5] ×2=（-3）×（5×2）
       从上面的这两组例子我们可以发现：
       （1）两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
       （2）三个数相乘，先把前面两个数相乘，或者先把后面两个数相乘，积不变。
       如果用字母表示：
       （1）可表示成ab=ba
       （2）可表示成(ab)c=a(bc)
       这里（1）就是乘法的交换律。（2）就是乘法的结合律。
       根据以上的这两条法则，我们可以推出：三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位
置，也可以先把其中的几个数相乘。
       注意：上面的字母a、b、c可代表一切有理数，既可以是正数，还可以是负数。
       看下面的例子：

    分析：这里是多个有理数相乘，怎样乘简便呢？因而首先应该注意要先分组，这里我

行计算。
       解：

    分析：这里共有5个因数，因而应当先作适当分组。这里我们发现：

    所以这两个应两两在一组。
       解：

       小结：从上面两个例题可以发现，在分组的时候应注意这样三个问题：
       （1）如果在几个因数相乘时发现有倒数，应先把它们分到一组。
       （2）如果在几个因数相乘时发现有两个因数相乘能得到整数或整十时，应把它们分到一组。
       （3）如果发现几个因数当中有两个或多个因数可以约分时，应当把他们分到一组。
       由上面例2.

    我们可以得到：

       观察：（1）式中有一个负因数，而积为负。
    （2）式中有两个负因数，积为正。
       （3）式中有三个负因数，积为负。
       （4）式中有四个负因数，积为正。
       由此，我们得到：
       几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数有奇数个时，积为负，当
负因数的个数有偶数个时，积为正。
       由上面的法则可以知道：
       几个不等于零的因数相乘，首先确定积的符号，然后，再把每个因数的绝对值相乘。
       这就是多个因数求积的常用方法。
       由前面所学知识可以知道：几个因数相乘，有一个因数为零，积就为零。

    解：

    解：

       在研究几个数相乘的规律后，我们来看下面的这组问题。

    小学时，学习过乘法的分配律，数的范围扩大后，这个规律还成立吗？

    因而可以得到：

    我们发现，有理数的乘法仍然满足分配律：
    一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。

    注意：这里a、b、c代表任何有理数。
       （2）这里仅提出两个数，其实，如果将两个数改成多个数，结论仍然成立，即有a(b+c+d)
=ab+ac+ad。
       请同学们思考：a(b-c)=ab-ac是否成立呢？

  例6. 计算：

       解：

    =

       小结：乘法的分配律使用时，不是每道题都是非常标准的形式，有的需要作变形，才能使用。

（三）有理数的除法：
    先看这样一个问题：（-6）÷2
       这也就是要求一个数“？”，使得

    根据有理数乘法法则，可知

    所以有（-6）÷2=-3

    这表明除法可转化成乘法完成。
    下面观察，并填空：

    这里发现，除数和后面的这个因数相乘总是得1。
    在有理数里，我们称乘积是1的两个数互为倒数。

称为倒数。
       这样，有理数的除法都可转化成乘法。
       除以一个数等于乘以这个数的倒数。
       注意：零不能作除数。
       因而我们得到与乘法法则类似的法则：
       两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
       零除以任何一个不为零的数，都得零。

  例7. 计算：

    解：

  例8. 化简分数：

    解：

  例9. 计算：

    解：

       本课小结：
  1. 本次课重点学习有理数的乘除法法则，应对法则加深理解。
  2. 在作乘法分配律的时候，要注意怎么样使用分配律。

【模拟试题】
       计算：

【试题答案】