七年级数学有理数的除法及有理数的乘方华东师大版知识精讲.doc

初一数学有理数的除法及有理数的乘方华东师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
有理数的除法及有理数的乘方

学习要求
1. 掌握有理数除法及乘方的意义
2. 会进行有理数除法、乘方的运算
3. 会求有理数的倒数
4. 结合实例感受底数不为1时，乘方结果的变化。

知识内容：
一. 有理数的除法
1. 有理数除法有两个法则
（1）除以一个数等于乘以它的倒数（零不能做除数）
（2）两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除，零除以任何一个不等于零的数，都得零。
这两个法则应灵活运用。如：分数除法用法则（1）
如：用法则（2）
2. 关于倒数
（1）1除以一个不等于零的数所得的商叫做这个数的倒数。零没有倒数。
（2）a与b是非零的有理数，若，我们就说a与b互为倒数。
（3）注意“互为相反数”与“互为倒数”的区别。若，我们说a与b互为相反数。
（4）绝对值是它本身的数是非负数。相反数是它本身的数是0。倒数是它本身的数是±1。

二. 有理数的乘方
1. 有理数的乘方是特殊的有理数乘法。，是求几个相同因数的积的运算。联想到有理数乘法是求几个相同的加数的和的运算，说明数学的概念大多是由旧的知识演变发展而来。数学概念间是有内在联系的。
2. 这种表示形式内涵较多，它包括了三个概念：底数a，指数n，幂，同时它还隐含着数学运算——乘方，其中a是指相同的那个因数，而n是指相同因数的个数。
3. 读法一：a的n次方（从运算角度读）
读法二：a的n次幂（从运算结果的角度读）
乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。
4. 正数的任何次幂都是正数
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正的。
（n为自然数）
5. 我们又了解到，现在学的非负数有
6. 应熟记
（1）0~20的整数的平方
（2）0~10的整数的立方
（3）末位是5的两位整数的平方的速算法：将十位的数字a乘以比它大1的数。所得的结果后添上十位数字2，个位数字5。
例如：

【典型例题】：
例1. 计算
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
解：（1）
（2）
说明：用法则（2）
（3）
说明：用法则（1）
（4）

（5）

说明：1. 对于含有乘、除的混合运算要先确定结果的符号，再运用法则或统一成乘法进行运算。
2第（5）题防止出现这样的错误。
（6）
（7）
（8）
（9）
说明：（8）、（9）两题注意进行比较，它们的运算顺序不同
（10）

说明：把改写为，再用乘法分配律可以简化运算。

例2. 填空：（1）当x____________时，没有意义。
（2）当a___________时，没有意义。
分析：零不能做分母，所以当分母为零时原式没有意义。
（1）
（2）
解：（1）等于8；（2）等于

例3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
分析：正确答案应为不论a为任何有理数时均成立的式子，即a是正数、负数和零时都要成立，根据正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。由于a与-a互为相反数，不论a为正数或负数，的符号都相反，B错；而表示a的平方的相反数，即，C错；，当a为负数时，，D错。
解：选A。

例4. 已知a与b互为倒数，m与n互为相反数，则的值是多少？
解：

例5. _______________。
分析：因为，要想使它们的和为零，只有当它们的值都为零时才可以，即；

例6. 求的值（n为正整数）
分析：此题应分n为奇数还是偶数来讨论
解：因为无论n取什么正整数，，所以
原式
当n为奇数时，原式
当n为偶数时，原式

例7. 已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示

化简
分析：观察数轴，判断出的符号，再根据有理数的加法、减法、乘法、除法法则进行计算。
解：由数轴知：

例8. 有一张厚度是0.1mm的纸，如果将它连续对折20次，会有多厚？有多少层楼高？（假设1层楼高3m）
分析：此题与细胞分裂道理一样，1张纸叠一次得2张，折叠2次得4张，折叠3次得8张，折叠4次得16张，…，…由此总结可知对折20次得张，由一张的厚度可求的厚度。
解：对折1次厚度为；
对折2次厚度为；
……
对折20次后，厚度为，即104.8576m。约为105m，（层）
答：对折20次的厚度为105m，有35层楼高。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 填空题
1. （1）的倒数是_______________。
（2）是____________的倒数。
（3）0.125和_______________互为倒数。
（4）倒数是它本身的数是_________________。
2. 当x=____________时，没有意义。
3. 若，若则a______________0。
4. 则整数a的值为___________________。
5. 已知，则x=_______________，若，则x=_______________，若，则x=_________________。
6. 若。
7. ______________。
8. _____________；_____________；_____________；=___________。

二. 选择题
1. m为任意有理数，下列说法正确的是（ ）
A. 的值总是正的
B. 的值总是正的
C. 的值总是负的
D. 的值总比1小
2. 有理数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
3. 若，且，那么的值是（ ）
A. 等于1 B. 小于零
C. 等于 D. 大于零
4. 下列各组数中，值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 两个数的和为负数，商为负数，则这两个数（ ）
A. 都是负数 B. 一正一负，负数绝对值小
C. 都是正数 D. 一正一负，负数绝对值大
三. 计算
1.
2.
3.
4.
5.
6.
四. 解答题
1. 已知两个数的商是，被除数是，求除数。
2. 已知，求下列代数式的值。
（1） （2）
3. 观察下列各式：
，……
通过观察，用你发现的规律写出的末位数字________________。
4. 已知，求的值。
5. 若为任意三个不为零的有理数，试确定的值有多少种情况，假若这个式子的最大值是s，最小值是t，求的值。

【试题答案】
一. 填空题
1. （1） （2） （3）8 （4）
2. 3. > <
4.
5.
6. < 7. 0
8. 625；；40；

二. 选择题
1. B 2. D 3. B 4. B 5. D

三. 计算
1. 2.
3. 4.
5. 6.

四. 解答题
1.
2. （1）14 （2）4
3. 8
提示：由观察得的末位数字是2，的末位数字是4，的末位数字是8，的末位数字是6，其中n为自然数。
4.
5. 提示：（1）a、b、c同为正数，此时
为最大值
（2）a、b、c同为负数，此时原式为最小值。
（3）a、b、c中有1个负数或有2个负数时，值相等均为0

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