资源描述
课题名称：24.1.3弧、弦、圆心角
1、教学目标（或三维目标）
1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角．
2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算．
2、教学重点
圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用．
3、教学难点
从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系．
4、教学过程：
1）课堂导入
1．在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O′.
2．将⊙O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？
3．在⊙O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生先说，教师补充完善圆心角的概念．
如图，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．
4．判断图中的角是否是圆心角，说明理由．
2）重点讲解
1．在⊙O′中，作与圆心角∠AOB相等的圆心角∠A′O′B′，连接AB，A′B′，将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O′重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与O′A′重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流．
2．学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？
4．综合2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．请用符号语言把定理表示出来．
5．分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？
6．定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？
综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．
3）问题探究
多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等．鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想．
4）难点剖析
如图，在⊙O中，C，D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．
(1)求证：＝；
(2)若C，D分别为OA，OB中点，则＝＝成立吗？
5）训练提升
一、选择题
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等;
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
D．以上说法都不对
2.下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧
A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对
3.已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB与CD之间的关系为（ ）
A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定
4. 如图，AB是 ⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（ ）
A． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °
5、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．
cm
B．
cm
C．
cm
D．
4cm
6.在⊙O中，圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则⊙O的直径的长为( )
A.4 B.8 C.24 D.16
二、填空题
1.已知圆O的半径为5,弦AB的长为5,则弦AB所对的圆心角∠AOB= .
2. 如图，AB是 ⊙O的直径，=,∠A=25°， 则∠BOD= .
3.在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆周的，圆的半径等于12，则圆心角∠AOB＝ ；弦AB的长为 .
4.如图，在⊙O中，，∠B=70°，则∠A等于 ．
5．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=___ _____．
6. 等腰△ABC的顶角∠A＝120°，腰AB＝AC＝10，△ABC的外接圆半径等于 .
三、解答题
1、如图，在⊙O中 ,AB =AC,∠ACB=60°，求证∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
2、如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
3．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
（1）求证：=；
（2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？
4．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．
5、如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC,AB、AC交⊙O于D、E,求证：BD=DE=EC
参考答案：
一、选择题
1．D
2.C下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧
A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对
3.B 已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB与CD之间的关系为（ ）
A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定
4. C 如图，AB是 ⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（ ）
A． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °
5、A
6.B
二、填空题
1. 60°
2.50°
3.90°, 12 .
4. 40° ．
5．3
6. 10
三、解答题
2、
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是：
∵OA=OC，OE=OF
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
∴=，∠AOB=∠COD
3．（1）连结OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，OA=OB，
∵AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN，
∴∠AOM=∠BON，∴
（2）
4．
连结AC、BD，∵C、D是三等分点，
∴AC=CD=DB，且∠AOC=×90°=30°，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，
又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，
∴AE=AC，
同理可证BF=BD，∴AE=BF=CD
5、板书设计：
24.1.3 弧、弦、圆心角
归纳：弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
例题：
6、教学反思：
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