资源描述
课题名称：24.3正多边形和圆
1、教学目标（或三维目标）
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
2、教学重点
理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3、教学难点
会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
4、教学过程：
1）课堂导入
问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
问题2 观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
问题3 圆具有哪些对称性？
2）重点讲解
正多边形的定义与对称性
问题1 什么叫做正多边形？
明确：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
明确：不是，因为矩形不符合各边相等；不是，因为菱形不符合各角相等；
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
3）问题探究
正多边形与圆的关系
问题1 怎样把一个圆进行四等分？
问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？
问题3 刚才把一个圆进行四等分，依次连接各等分点，得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形.
探究3：正多边形的有关概念及性质
完成下面的表格：
正多边形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
探究4：正多边形的有关计算
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是 △OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:________________________.
答案：60；=；等边；6；
活动2：探究归纳
4）难点剖析
例：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4, MB＝
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
归纳：圆内接正多边形的辅助线
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
5）训练提升
1.下列命题正确的是( )
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
2.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍
C.扩大了四倍 D.没有变化
3.如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,则∠ADB的度数
是( )
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
4.下列说法:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各角相等的圆内接多边形是正多边形.正确的是( )
A.① B.② C.①② D.都不正确
5.正五边形共有 条对称轴,正六边形共有 条对称轴.
6.已知☉O的半径为1 cm,求作☉O的内接正八边形.
知识点2.正多边形有关的计算
7.一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是( )
A.正六边形 B.正八边形
C.正十边形 D.正十二边形
8.正三角形的边心距、半径和高的比是( )
A.1∶2∶3 B.1∶∶
C.1∶∶3 D.1∶2∶
9.正十二边形每个内角的度数为 .
10.若正n边形的一个外角是一个内角的,此时该正n边形有 条对称轴.
11.在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为 .
12.已知正六边形的边心距为,则正六边形的边长为 .
13.已知:五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E,边AB,BC,CD,DE,EA与☉O分别相切于点A′,B′,C′,D′,E′.
求证:五边形ABCDE是正五边形.
14. (2013·安徽中考)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2)、图(3)…
(1)观察以上图形并完成下表:
图形名称
基本图的个数
特征点的个数
图(1)
1
7
图(2)
2
12
图(3)
3
17
图(4)
4
…
…
…
猜想:在图(n)中,特征点的个数为 (用含n式子表示)
(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1= ;
图(2013)的对称中心的横坐标为 .
15.如图(1),(2),(3),…,(n),M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.
(1)求图(1)中∠MON的度数.
(2)图(2)中∠MON的度数是 ,图(3)中∠MON的度数是 .
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
16.线段AB是圆内接正十边形的一条边,则AB所对的圆周角的度数是 度.
(1)错因: .
(2)纠错: .
参考答案:
1. 【解析】选D.根据正多边形的概念得:各边相等,各角也相等的多边形是正多边形,故A,B错误;矩形既是轴对称图形又是中心对称图形,但其不是正多边形,故C错误;D符合正多边形的概念,正确.
2. 【解析】选D.由题意知圆的半径扩大一倍,则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍,所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化.
3. 【解析】选C.连接OB,∵∠AOB=60°,∴∠ADB=∠AOB=30°.
4. 【解析】选A.∵各边相等的圆内接多边形其所对的弧线段相等,∴该多边形为圆的内接正多边形,故①正确;矩形符合②的条件但不符合结论,故②错误.
5.【解析】正n边形的对称轴与它的边数相同.
答案:5 6
6.【解析】(1)如图所示,作直径AC,使AC=2 cm.
(2)作AC的中垂线BD交☉O于B,D两点.
(3)连接AD,作AD的中垂线交于M点.
(4)用同样的方法作出,,的中点分别为E,F,G.
(5)依次连接各分点,即得正八边形.正八边形AEBFCGDM即为所求作的☉O的内接正八边形.
7. 【解析】选C.∵多边形的外角和都等于360°,而360°÷36°=10,∴这个正多边形是正十边形.故选C.
8.【解析】选A.如图过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD必过中心O点,连接OB,设OD=x,则OB=2x,所以△ABC的高线为3x,因此正三角形的边心距、半径和高的比为1∶2∶3.
9.【解析】正十二边形的每个内角都相等,每个外角也相等.
方法一:(12-2)×180°=1 800°.1800°÷12=150°.
方法二:360°÷12=30°. 180°-30°=150°.
答案:150°
【方法技巧】正多边形外角的两种求法
1.根据多边形内角和公式计算正多边形每个内角的度数,再利用互补的关系求外角度数.
2.直接利用多边形外角和求其外角度数.
10.【答案】5
11.【解析】内接正方形的边长为R,内接正六边形的边长为R,其比为∶1.
答案:∶1
12.【解析】∵正六边形的边心距为,
∴OB=,AB=OA,OA2=AB2+OB2,解得OA=2.
答案:2
13.【证明】作☉O的半径OA′,OB′,OC′,则OA′⊥AB,OB′⊥BC,OC′⊥CD.
∴∠OA′B=∠OB′B=∠OB′C
=∠OC′C=90°,
由OA′=OB′，OB=OB，可得△OA′B≌△OB′B(HL),
∴A′B=B′B，∠OBA′=∠OBB′，
同理可得∠OCB′=∠OCC′
又∵∠ABC=∠BCD,∴∠OBB′=∠OCB′，∴BB′=BC,
同理A′B=AB, ∴AB=BC,
同理得AB=BC=CD=DE=EA,
又∵∠EAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA,
∴五边形ABCDE是正五边形.
14. 【解析】(1)22 5n+2.
(2)正六边形的边长是2,所以边心距为,则x1=;
图(2)的对称中心在正六边形的一边上,横坐标为2;
图(3)的对称中心是正中间的正六边形的中心,横坐标为3,…,以此类推,图(2013)的对称中心的横坐标为2013.
15.【解析】(1)连接OB,OC.
∵正△ABC内接于☉O,
∴∠OBM=∠OCN=30°,
∠BOC=120°.
又∵BM=CN,OB=OC,
∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM=∠CON.
∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)90° 72°
(3)∠MON=.
16.答案：(1)忽略了一条弦对着两个圆周角
(2)另一个圆周角为:180°-18°=162°
答案:18或162
5、板书设计：
24.3 正多边形和圆
6、教学反思：
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