柯西不等式-(2).docx

柯西不等式（第一课时）【学习目标】1、掌握二维柯西不等式的两种形式和特征并理解三种证明方法（重点）2、灵活应用二维柯西不等式证明一些不等式和解决某些求最值问题（难点）【预备知识】1、 向量的数量积 =a,b，=c,d，=ac+bd 2、 向量共线的充要条件=a,b与=c,d 共线ad-bc=03、 两个不等式重要不等式:a2+b22ab基本不等式：a0,b0,a+b2ab【教学过程】一、背景介绍1、 柯西简介 2、柯西不等式的发现与发展二、柯西不等式1、 二维柯西不等式：对 a,b,c,d，有 当 时，等号成立。变形：对 a,b,c,d，有 当 时，等号成立。向量形式：设向量和 为平面内 ，则 当 ，等号成立。2、 证明（1） 比较法： （2） 向量法：（3） 构造函数法证：设函数ft=a2+b2t2+2ac+bdt+(c2+d2)则ft=(at+c)2+(bt+d)20，当a=0,b=0时，不等式a2+b2(c2+d2)(ac+bd)2显然成立；当a、b不全为0时，ft为关于t的二次函数且函数值恒大于0，则方程ft=0的判别式不能为正值，即有4(ac+bd)2-4a2+b2(c2+d2)0，所以a2+b2(c2+d2)(ac+bd)2。若上式取等号即4(ac+bd)2-4a2+b2c2+d2=0，即(ad-bc)2=0,所以ad=bc，这时向量a,b和c,d共线。3、 观察柯西不等式的特征及使用条件三、柯西不等式的应用例题1：用柯西不等式证明：若ab0，有a2+b2(1a2+1b2)4。 变式1：用柯西不等式证明：若a0,b0，有(a+b)(1a+1b)4。变式2：若a0,b0，a+b=1，求1a+1b的最小值。 例题2：已知a+b=1，求证a2+b212。 变式3：已知3x+4y=5，求证x2+y21。 四、归纳总结1、 柯西不等式的两种形式及变形2、 柯西不等式的证明方法、特征及使用条件五、 作业1、若a0,b0，求(a+1b)(2b+12a)的最小值。2、已知x24+y2=1,求x-y的最大值。