柯西不等式-(2).docx

柯西不等式（第一课时）
【学习目标】
1、掌握二维柯西不等式的两种形式和特征并理解三种证明方法（重点）
2、灵活应用二维柯西不等式证明一些不等式和解决某些求最值问题（难点）
【预备知识】
1、 向量的数量积
α=a,b，β=c,d，α∙β=ac+bd
2、 向量共线的充要条件
α=a,b与β=c,d 共线↔ad-bc=0
3、 两个不等式
重要不等式:a2+b2≥2ab
基本不等式：a>0,b>0,a+b2≥ab
【教学过程】
一、背景介绍
1、 柯西简介
2、柯西不等式的发现与发展
二、柯西不等式
1、 二维柯西不等式：对 a,b,c,d，有

当 时，等号成立。
变形：对 a,b,c,d，有

当 时，等号成立。
向量形式：设向量α和 β为平面内 ，则

当 ，等号成立。
2、 证明
（1） 比较法：

（2） 向量法：

（3） 构造函数法
证：设函数ft=a2+b2t2+2ac+bdt+(c2+d2)
则ft=(at+c)2+(bt+d)2≥0，
当a=0,b=0时，不等式a2+b2(c2+d2)≥(ac+bd)2显然成立；
当a、b不全为0时，ft为关于t的二次函数且函数值恒大于0，
则方程ft=0的判别式不能为正值，
即有4(ac+bd)2-4a2+b2(c2+d2)≤0，
所以a2+b2(c2+d2)≥(ac+bd)2。
若上式取等号即4(ac+bd)2-4a2+b2c2+d2=0，
即(ad-bc)2=0,所以ad=bc，
这时向量a,b和c,d共线。

3、 观察柯西不等式的特征及使用条件

三、柯西不等式的应用
例题1：用柯西不等式证明：若ab≠0，有a2+b2(1a2+1b2)≥4。

变式1：用柯西不等式证明：若a>0,b>0，有(a+b)(1a+1b)≥4。

变式2：若a>0,b>0，a+b=1，求1a+1b的最小值。

例题2：已知a+b=1，求证a2+b2≥12。

变式3：已知3x+4y=5，求证x2+y2≥1。

四、归纳总结
1、 柯西不等式的两种形式及变形
2、 柯西不等式的证明方法、特征及使用条件
五、 作业
1、若a>0,b>0，求(a+1b)(2b+12a)的最小值。
2、已知x24+y2=1,求x-y的最大值。