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柯西不等式讲义

基本不等式
展示：
由于
所以当且仅当时，等号成立。
1、 讲解二维柯西不等式定理，并给出两个相关推论：
二维形式的柯西不等式：
若都是实数，则
当且仅当时，等号成立。

推论一：
推论二：
2、 练习巩固新知识：
例一：已知为实数，证明：
【讲解】：利用柯西不等式，

例二：求函数的最大值。
【讲解】：函数的定义域为[5,6]，观察式子形式，可以用推论二。即
。
当且仅当，即时，函数有最大值5。

3、 讲解柯西不等式的向量形式：
在平面直角坐标系中， ，则

又
而
即
当且仅当共线时，等号成立，即
柯西不等式的向量形式：
设 是两个向量，则，
当且仅当是零向量，或存在实数，使得时，等号成立。
又称之为Cauchy-Schwarz不等式。
4、 通过柯西不等式的向量形式，将二维形式推广到三维，得到三维形式的柯西不等式：
三维形式的柯西不等式：

当且仅当，或存在使得时，等号成立。
5、 三维柯西不等式巩固练习：
例三：设为正数，求证：

6、 探究一般形式的柯西不等式：