柯西不等式.doc

柯西不等式1
☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义;
2. 会证明二维柯西不等式及向量形式
☻知识情景：
1. 定理1 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.
当时，由基本不等式：
2. 如果, 那么，
另一方面，有
问题：
☻新知建构：
1. 柯西不等式：若，则.
当且仅当 时, 等号成立.
此即二维形式的柯西不等式.
证法10.（综合法）

当且仅当 时, 等号成立.
证法20.（构造法）
分析：
而的结构特征
那么，
证：设，
∵ 0 恒成立.
∴ . 得证.
证法30.（向量法）设向量，， 则，.
∵ ，且，有.
∴ . 得证.
2. 二维柯西不等式的变式：
变式10.若，则 或；
变式20. 若，则 ；

变式30. 若，则.
几何意义:

3. 二维柯西不等式的应用：

例4 .

选修4-5练习

.

1．A 2、B 3．3 4． 5．
6、 求函数的最大值？；

7、已知，求的最小值.

8、若，，求证：.
9、已知，且，则的最小值.
10、若>>，求证：.

11、 已知点及直线
用柯西不等式推导点到直线的距离公式

12、已知求证：。

13、解方程

练习
6．分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演
→ 变式：
→ 推广：
7．（凑配法）.
8．分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
要点：…
9．要点：…. → 其它证法
10、要点：
11、设点是直线上的任意一点， 则 （1）
点两点间的距离: （2）
的最小值就是点到直线的距离，
∵

由（1）（2）得：
即 （3）
当且仅当
（3）式取等号 即点到直线的距离公式即
12. 证明：由柯西不等式，得
当且仅当时，上式取等号，
于是 。

13.解： =
由柯西不等式知
即

当上式取等号时有成立，即
（无实根） 或，即
，经检验，原方程的根为

柯西不等式2
☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;
2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题
☻知识情景：
1. 柯西主要贡献简介：
柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定
了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值
定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.
2.二维形式的柯西不等式： 若，
则 .
当且仅当 时, 等号成立.
变式10. 若，则或；
变式20. 若，则 ；
变式30.（三角形不等式）设为任意实数，则：

3. 一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，(1,2,…,)，
则： .
当且仅当 时, 等号成立.
(若时，约定，1,2,…,).
变式10. 设 则： .
当且仅当 时, 等号成立.
变式20. 设 则：.
当且仅当时,等号成立.
变式30. (积分形式)设与都在可积，
则，
当且仅当时,等号成立.

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重
要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面
都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！
☆ 柯西不等式的应用：
例1. 已知实数满足， . 试求的最值

例2 在实数集内 解方程

例3 设是三角形内的一点，是到三边的距离，是外接圆
的半径， 证明

例4 (证明恒等式) 已知 求证：。

例5 (证明不等式)设 求证:

选修4-5练习
1、已知，求证：

2、已知是不全相等的正数，求证：

3、已知.

4、 设 求证：

5、已知实数满足, 求的取值范围.

6、已知 且 求证：

7、已知正数满足 证明

8、解方程组

9、若n是不小于2的正整数，试证：。

参考答案:
一般形式的柯西不等式：
设为大于1的自然数，(1,2,…,)，则：，
其中等号当且仅当时成立(当时，约定，1,2,…,).
等号成立当且仅当 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的
不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便
地解决一些中学数学中的有关问题。
例1 解：由柯西不等式得，有
即 由条件可得，
解得，当且仅当 时等号成立，
代入时，
时
例2解：由柯西不等式，得
①

又.
即不等式①中只有等号成立.
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
它与联立，可得

例3证明：由柯西不等式得，

记为的面积，则

故不等式成立。
例4 证明：由柯西不等式，得
当且仅当时，上式取等号，

于是 。
例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

证明：为了运用柯西不等式，我们将写成
于是

即
故
我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

练习
1．证：
∴
∴
2、
3．
4、
5．
6．

7．证明：利用柯西不等式

又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上
得：

故
8. 解：原方程组可化为
运用柯西不等式得,
两式相乘，得
当且仅当x=y=z=w=3时取等号。
故原方程组的解为x=y=z=w=3.

9、证明：

所以求证式等价于
由柯西不等式有
于是：
又由柯西不等式有

二项式定理
教学目标：
1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；
2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；
3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力
教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
教学难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1），
（2）.
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数
定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值．∵，
∴相对于的增减情况由决定，，
当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
三、讲解范例：
例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式中，令，则，
即，
∴，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知.
例2．已知，求：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）当时，，展开式右边为
∴，

当时，，∴，
（2）令， ①
令， ②
①② 得：，∴ .
（3）由展开式知：均为负，均为正，
∴由（2）中①+② 得：，
∴ ，
∴

例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：=，
∴原式中实为这分子中的，则所求系数为
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
解：∵
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为 ，
∴此展开式中x的系数为240
例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项

解：依题意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10
设第r+1项为常数项，又
令，
此所求常数项为180
四、课堂练习：
（1）的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；
（2）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．
（3）+++，则（ ）
A．　　 　B.　　 C.　 D.
（4）已知：，
求：的值
答案：（1），，；
（2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，
∴ ， ；
（3）A．
五、小结 ：1．性质是组合数公式的再现，性质是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法
六、课后作业：
七、板书设计

函数的极值与导数

一、选择题
1．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的(　　)
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：(1)不充分．若f′(x)＝0，则f(x)不一定有极值．例如：f(x)＝x3，x∈R，f′(x)＝3x2.令f′(x)＝0，可得x＝0.
∴f′(x)＝0有实根不能推出f(x)有极值．
(2)必要：若f(x)有极值，则f′(x)＝0一定有实根．
如：f(x)＝|x|.在x＝0处，f(x)的导数不存在．
答案：A
2．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)
A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不为0
解析：∵可导函数的某点是极值点的必要条件是这点的导数为0；函数的不可导点也可能是极值点(如y＝|x|的极小值点为x＝0)．故选C.答案：C
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如右图所示，则2SX18.tif函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个　　 B．2个 C．3个 D．4个
解析：如下图所示，由极值点定义可知，只有B点是函数f(x)的极小值点．故选A.
答案：A
4．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是(　　)A．(a，b) B．(a，c)C．(b，c) D．(a＋b，c)
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知，1，－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，1－1＝－，b＝0，故选A.

5．对于R上可导的任意函数f(x)，若a>b>1且有(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)
A．f(a)＋f(b)<2f(1) B．f(a)＋f(b)≤2f(1) C．f(a)＋f(b)≥2f(1) D．f(a)＋f(b)>2f(1)
解析：当x>1时，f′(x)≥0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．当x<1时，f′(x)≤0，所以f(x)在(－∞，1)上是减函数．所以f(1)是f(x)在R上的极小值，所以f(1)≤f(a)且f(1)≤f(b)．所以f(a)＋f(b)≥2f(1)，故选C.
6．(2009·安徽高考)设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)

解析：f′(x)＝(x－a)(3x－2b－a)．令f′(x)＝0⇔(x－a)(3x－2b－a)＝0，
得x1＝a，x2＝，∵a<b，∴a<<b.∴x1<x2.f′(x)>0⇔x>或x<a.
f′(x)<0⇔a<x<.函数的大致图象为：

答案：C
二、填空题
7．(2009·辽宁高考)若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝()′＝＝，
又∵x＝1为函数的极值点，∴有f′(1)＝0.∴1＋2×1－a＝0，即a＝3.
答案：3
8．(2008·江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.

解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然恒成立；当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－，设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g(x)max＝g()＝4，从而a≥4；当x<0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.综上可得a＝4.
答案：4
9．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是________．
解析：由函数y＝x3－3x的图象可知，直线若跟函数有三个不同交点，则y极小值<a<y极大值，易求当x＝－1时有y极大值＝－2，当x＝1时有y极小值＝2，所以－2<a<2.
答案：(－2,2)
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3－4x＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．
解析：(1)f′(x)＝x2－4.
解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)



－

从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋4＝；
而当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝×23－4×2＋4＝－.
函数f(x)＝x3－4x＋4的图象如图所示．

11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，求a，b的值．
解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有一个根是x＝1，∴3＋2a＋b＝0.①
又f(1)＝10，∴1＋a＋b＋a2＝10.②联立①、②消去b，得a2－a－12＝0.
由此可得或
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，这时f(x)在x＝1处无极值，不合题意．
当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
－<x<1时，f′(x)<0；x>1时，f′(x)>0，这时x＝1是极值点．
故a＝4，b＝－11适合题意．
12．设函数f(x)＝x(x－1)(x－a)(a>1)，
(1)求导数f′(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1，x2；
(2)若不等式f(x1)＋f(x2)≤0成立，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－2(1＋a)x＋a.令f′(x)＝0得方程
3x2－2(1＋a)x＋a＝0.因为Δ＝4(a2－a＋1)>0，
故方程3x2－2(1＋a)x＋a＝0有两个不同实根x1，x2.
不妨设x1<x2，由f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)可判断f′(x)的符号如下：
当x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x>x2时，f′(x)>0.
因此x1是极大值点，x2是极小值点．故函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2.
(2)因f(x1)＋f(x2)≤0，故得不等式
x＋x－(1＋a)(x＋x)＋a(x1＋x2)≤0，
即(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]－(1＋a)[(x1＋x2)2－2x1x2]＋a(x1＋x2)≤0.(*)
又由(1)知代入(*)式，两边同除以(1＋a)，并化简得
2a2－5a＋2≥0.解不等式得a≥2或a≤(舍去)．
因此，当a≥2时，不等式f(x1)＋f(x2)≤0成立

定积分的概念
一：教学目标　
知识与技能目标　
通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
能用定积分的定义求简单的定积分；
理解掌握定积分的几何意义；
过程与方法
借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；
情感态度与价值观
二：教学重难点　　
重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义
难点　定积分的概念、定积分的几何意义
三：教学目标：
1．创设情景
复习：
1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
2．新课讲授
1．定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。

说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：等分区间；
②近似代替：取点；
③求和：；
④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；
变力做功
2．定积分的几何意义
如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。
说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．
分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）

性质3 （定积分的线性性质）性质4
（定积分对积分区间的可加性）
性质5 若，则
推论1：，
推论2：
性质6设为在上的最大值、最小值，则

性质7（中值定理）若，则至少有一，使.
证：由性质6知，，依介值定理，必有，
使，即。
说明：
①推广：
②推广:
③性质解释：
性质4
性质1

例1．计算定积分
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。
1
2
y
x
o
即：
思考：若改为计算定积分呢？
改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
练习
计算下列定积分
1．
解：
2．
解：
例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
A
B
C
D
O
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习 计算由曲线和所围成的图形的面积.
四：课堂小结
定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．
五：教学反思

微积分基本定理
一：教学目标　
知识与技能目标　
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点　　
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点　了解微积分基本定理的含义　
三：教学过程：
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=

而。

对于一般函数，设，是否也有

若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则

证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）； （2）。
解：（1）因为，所以。
（2））因为，所以
。

练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===

例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；

图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；

( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒

于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五：教学反思

定积分的简单应用
一：教学目标　
知识与技能目标　
1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；
2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；
4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法
情感态度与价值观
二：教学重难点　　
重点 曲边梯形面积的求法
难点　定积分求体积以及在物理中应用　
三：教学过程：
1、复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
2、定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
A
B
C
D
O
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习 计算由曲线和所围成的图形的面积.

例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与 x 轴的交点．

解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．
解方程组
得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) .
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2

.
由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

例3.求曲线与直线轴所围成的图形面积。
答案：
练习
1、求直线与抛物线所围成的图形面积。
答案：

x
y
o
y=－x2+4x-3

2、求由抛物线及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：，切线方程分别为、
，则所求图形的面积为

3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为

x
x
O
y=x2
A
B
C
4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.
略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程
为，切线与轴的交点坐标为
，则由题可知有
，所以切点坐标与切线方程分别为

总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
（3） 确定被积函数；
（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
（1）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；
③由两条曲线与直线
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x

图（1） 图（2） 图（3）
所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；
（2）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4））；

②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5））；
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（6））；

图（4） 图（5） 图（6）

2．求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为

.
3．求旋转体的体积和侧面积
由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为
.
其侧面积为
.
（二）、定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即

例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．

解：由速度一时间曲线可知：

因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
2．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究

如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x）所作的功W呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到

例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,
其中常数 k 是比例系数．
由变力作功公式，得到

答：克服弹力所作的功为.