《2.1-柯西不等式》导学案.doc

2.1 柯西不等式导学案课程目标 引航1认识简单形式的柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义2会证明一般形式的柯西不等式，并能利用柯西不等式来解决有关问题基础知识 巩固1简单形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)_，当向量_与向量_共线时，等号成立(2)简单形式的柯西不等式的向量形式：设(a，b)，(c，d)是平面上任意两个向量，则_|，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立知识拓展(1)二维形式的柯西不等式的推论：(ab)(cd)()2(a，b，c，d为非负实数)；|acbd|(a，b，c，dR)；|ac|bd|(a，b，c， dR)(2)二维形式的三角不等式：(x1，y1，x2，y2R)；推论：(x1，x2，x3，y1，y2，y3R)【做一做11】已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8【做一做12】已知x2y1，则x2y2的最小值为_2一般形式的柯西不等式(1)定理2：设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有(aaa)_(a1b1a2b2anbn)2，当向量_与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立(2)推论(三维形式的柯西不等式)：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(aaa)(bbb)_当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“”成立【做一做21】设a(1，0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，则ab的最大值为_【做一做22】已知x，y，zR，且xyz1，则x2y2z2的最小值是()A B C D答案：1(1)(acbd)2(a，b)(c，d)(2)|【做一做11】B由柯西不等式可求出(xy)2(1)2，当x1， y时，(xy)能取到最小值(1)2，故只需(1)29，即a4即可【做一做12】解析：1x2y，1(x2y)2(122)(x2y2)当且仅当x，y时，取等号，(x2y2)min2(1)(bbb)(a1，a2，an)(2)(a1b1a2b2a3b3)2【做一做21】4由题知，abx2z，由柯西不等式知1202(2)2(x2y2z2)(x02z)2，当且仅当向量a与b共线时“”成立，516(x2z)2，4x2z4，即4ab4故ab的最大值为4【做一做22】B根据柯西不等式，有x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2当且仅当，即xyz时等号成立重点难点 突破1对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为由四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会(a2b2)(c2d2)(acbd)2，(a2b2)(d2c2)(adbc)2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识“二维”是根据向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系2一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致，然后应用解题3“1”的利用剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往能达到某些用字母所代表的数或式子所不能达到的作用这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”的影响而不会用柯西不等式典型例题 领悟题型一利用柯西不等式证明不等式【例1】已知3x22y26，求证：2xy分析：将不等式2xy的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明反思：为了利用柯西不等式，将2xy平方，这一运算技巧是证明不等式的关键【例2】已知正数a，b，c满足abc1证明a3b3c3分析：如何构造两组数，利用柯西不等式是关键反思：在本题中，a，b，c的指数的变化是关键，要根据柯西不等式的需要进行适当的变形题型二利用柯西不等式求最值【例3】设x，y，zR，且1求xyz的最大值和最小值分析：根据柯西不等式的需要给式子进行变形，注意等价性反思：当式子中有根号、平方等形式时，经常用柯西不等式来解决答案：【例1】证明：由柯西不等式，得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611于是2xy当且仅当，即时等号成立【例2】证明：利用柯西不等式，有，又a2b2c2abbcca，在此不等式两边同乘以2，再加上a2b2c2，得(abc)23(a2b2c2)(a2b2c2)2(a3b3c3)3(a2b2c2)，a3b3c3当且仅当abc时等号成立【例3】解：根据柯西不等式，知42()22222，当且仅当，即x，y1，z或x，y3，z时等号成立251(xyz2)2|xyz2|5，3xyz7，即xyz的最大值为7，最小值为3随堂练习 巩固1设x，y，m，n0，且1，则uxy的最小值是()A()2 B C D(mn)22若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围为()A2，2 B2，2C， D，3函数y2的最大值为_4设x1，x2，xn为正数，求证：(x1x2xn)n2答案：1A根据柯西不等式，得xy(xy)2()2，当且仅当时，等号成立，这时u取最小值为()22A解析：由柯西不等式知(a2b2)12(1)2(ab)2，当且仅当a，b或a，b时等号成立，102(ab)2，2ab233利用柯西不等式进行变形，得到()212()2()2(2)2，即33(2)2，当且仅当x0时等号成立，234证明：由柯西不等式，得(x1x2xn)(1112，即(x1x2xn)n2