柯西不等式.docx

2015-2016学年度???学校4月月考卷

1．已知x, y, R，且，则的最小值是
A．20 B．25 C．36 D．47
2．已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（ ）
A.1 B.4 C.8 D.9
3．已知a，b∈R，a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为（ ）
A.3a+2b≤4 B.3a+2b≤ C.3a+2b≥4 D.不确定
4．（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（ ）
A.2 B.2 C.2 D.3

5．若，则的最小值为 ．
6．已知实数、、满足，，则的最大值为 ．
7．已知
（1）求的最小值及取最小值时的值。
（2）若，求的取值范围。
8．（2014•宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为 ．
9．已知，且，则的最小值是 ．
10．设，且，则的最小值为______.
11．设实数x，y，z均大于零，且，则的最小值是 ．
12．若，则的最大值为______.

13．（1）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数），直线和曲线相交于两点，求线段的长．
（2）选修4—5：不等式选讲
已知正实数满足，求证：．
14．已知，函数的最小值为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小值．
15．（本小题满分10分，不等式选讲）
已知实数满足，求的最小值．
16．（本小题满分10分，不等式选讲）
已知正实数满足，求证：．
17．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
在中，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
18．（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将
已知定义在R上的函数的最小值为.
（I）求的值；
（II）若为正实数，且，求证：.
19．已知正实数、、满足条件，
（1）求证：；
（2）若，求的最大值．

试卷第1页，总2页
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参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由于
则（当且仅当即时取等号.故选C
考点：柯西不等式.
2．D
【解析】
试题分析：由柯西不等式可得 （x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，由此求得正数k的值．
解：由题意利用柯西不等式可得 （x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，
即 36（1++）≥（x+y+z）2．
再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，求得正数k=9，
故选：D．
点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．
3．B
【解析】
试题分析：首先分析题目已知a2+b2=4，求3a+2b的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出（3a+2b）2的最大值，开平方根即可得到答案．
解：已知a2+b2=4和柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）
故（3a+2b）2≤（a2+b2）（32+22）=52
即：3a+2b≤
故选B．
点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题目．
4．C
【解析】
试题分析：利用柯西不等式，可得（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，结合x+y+z=2，即可求出++的最大值．
解：∵x、y、z是正数，
∴（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，
∵x+y+z=2，
∴++≤=2，
∴++的最大值是2．
故选：C．
点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．
5．
【解析】
试题分析：，则由柯西不等式可得
故．当且仅当时取等号
考点：柯西不等式
6．
【解析】
试题分析：∵∴ ∵，∴，∴，∴，所以的最大值为．
考点：不等式的性质．
【思路点睛】本题主要考查消元思想和不等式性质的合理运用，首先利用得，再将其代入，可得，再利用根的判别式即可求出的取值范围，即可求出的最大值．
7．（1），；（2）。
【解析】
试题分析：（1）根据柯西不等式的一般形式可得，把已知条件可化为，即可求出的最小值，注意等号成立的条件；（2）由柯西不等式得到不等式，再利用等量代换转化为关于的不等式求解。
试题解析：（1）根据柯西不等式得：
，
即，∴，等号成立的条件是，
∴当时，。
（2）根据条件可得，根据柯西不等式得：
即，∴，解之得。
考点：利用柯西不等式求最值或求参数的范围。
8．
【解析】
试题分析：利用条件x+2y+3z=1，构造柯西不等式（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2+）（12+22+32）进行解题即可．
解：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2+）（12+22+32）
故x2+y2+z2≥，当且仅当，
即：x2+y2+z2的最小值为．
故答案为：
点评：本题主要考查了函数的值域，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2+）（12+22+32）进行解题，属于中档题．
9．
【解析】
试题分析：法一：根据柯西不等式；将问题中的x，y，z分别对应a1，a2，a3　，2，3，3分别对应b1，b2，b3，有，所以有，当且仅当时取得等号，即时，取得最小值；故应填入：．
＊法二：设点Ｐ的坐标为是空间直角坐标系一点，且满足，所以点P是平面上任意一点，由其几何意义可知：的最小值是坐标原点到平面的距离的平方，由空间中点到平面的距离得的最小值是：，故应填入：．
考点：柯西不等式．
10．
【解析】
试题分析：由柯西不等式得：，所以，得
，所以，故答案为.
考点：柯西不等式.
11．
【解析】
试题分析：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）
故x2+y2+z2≥，当且仅当，即：x2+y2+z2的最小值为．
故答案为：
考点：函数的值域，柯西不等式的应用．
12．.
【解析】
试题分析：解法一：（柯西不等式法），，因此的最大值为.
解法二：（几何法）令，则直线与圆有公共点，圆心到直线的距离
，解得，因此的最大值为；
解法三：（三角换元法）设，，则，其中
且，由于，因此，即的最大值为.
考点：1.柯西不等式；2.直线与圆的位关系；3.三角换元法
13．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；曲线的参数方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理求线段的长．（2）利用基本不等式得，，再根据不等式的性质得，因为，得证.
试题解析：（1）由直线的极坐标方程是，可得由直线的直角坐标方程是，
化为参数方程为（为参数）；曲线（为参数）可化为．
将直线的参数方程代入，得．
设所对应的参数为，，，所以．
（2）证明：因为正实数，所以．同理可证：．
．，．
当且仅当时，等号成立．
考点：1、极坐标方程；2、参数方程；3、直线与椭圆；4、基本不等式；5、不等式的性质.
【方法点睛】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；再把曲线的参数方程化为直角坐标方程，然后把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理和弦长公式求出线段的长．把直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立能够简化解题过程；（2）利用基本不等式及不等式的性质进行证明.
14．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）利用绝对值不等式几何意义，，又因为，所以的最小值为，即可求得其值为4；（2）求的最小值，可利用柯西不等式．
试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，所以的最小值为,所以．
（Ⅱ）由（1）知，由柯西不等式得
,
即
当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为．
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式．
【方法点睛】解含有绝对值不等式，要巧妙利用绝对值的几何意义或者利用零点分区间法求不等式的最值．对于若干个单项式的平方和，因为其符合柯西不等式，所以只要补足另一个平方和多项式，便可利用柯西不等式来求最值．
15．
【解析】
试题分析：直接利用柯西不等式即可解决
试题解析：由柯西不等式，， 4分
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为． 10分
考点：柯西不等式
16．详见解析
【解析】
试题分析：由得，
试题解析：证明：∵正实数满足，
∴，∴， 5分
∴． １０分
考点：基本不等式
17．(1)证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】
试题分析：本题主要考查不等式的证明、均值不等式等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力.第一问，先利用均值不等式，再化简得到，再次利用均值不等式，最后验证等号是否成立即可；第二问，先利用均值不等式得到，在利用一次得到，利用三角形内角和为，得到，整理即可得到结论.
试题解析：（Ⅰ）因为为正实数，
由均值不等式可得，即，
所以，
而，所以．
当且仅当时，取等号． （5分）
（Ⅱ），
∴，
当且仅当时，取等号． （10分）
考点：不等式的证明、均值不等式.
18．（I）;（II）参考解析
【解析】
试题分析：（I）已知定义在R上的函数的最小值,由绝对值的性质可得函数的最小值.即可得到结论.
（II）由（I）可得,再根据柯西不等式即可得到结论.
试题解析：（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.
（II）由（I）知,又因为是正数,所以,即.
考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.
19．（1）详见解析;（2）1
【解析】
试题分析：（1）根据一般形式的柯西不等式证明.（2）根据基本不等式可得.可将转化为，转化为关于的一元二次不等式.
试题解析：证：（1）∵
代入已知 a+b+c=3

当且仅当 a=b=c=1，取等号 . 5分
（2）由得，若，则，，
所以，，当且仅当 a=b= 1时，有最大值1. 10分
考点：1柯西不等式;2基本不等式.
答案第9页，总9页