绝对值不等式与柯西不等式-(2).doc

绝对值不等式与柯西不等式
一、 基础训练
1
【题文】设，且，则的最小值为______.
【答案】
试题分析：由柯西不等式得：，所以，得
，所以，故答案为.
考点：柯西不等式.
2
【题文】，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.
考点：含绝对值不等式的性质
3
【题文】(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.
考点：含绝对值不等式性质
4
【题文】不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】
试题分析：令，则，
（1）当时，由得，解得，此时有；
（2）当时，，此时不等式无解；
（3）当时，由得，解得，此时有；
综上所述，不等式的解集为.
【考点定位】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.
5
【题文】（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将
已知定义在R上的函数的最小值为.
（I）求的值；
（II）若为正实数，且，求证：.
【答案】（I）;（II）参考解析
【解析】
试题分析：（I）已知定义在R上的函数的最小值,由绝对值的性质可得函数的最小值.即可得到结论.
（II）由（I）可得,再根据柯西不等式即可得到结论.
试题解析：（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.
（II）由（I）知,又因为是正数,所以,即.
考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.
6
【题文】设函数，，记的解集为M，的解集为N.
（1）求M；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）不等式变形为，然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集
；（2）解不等式，得．故．当时，，此时．代入中为二次函数，求其最大值即可．
（1）当时，由得．故；当时，
由得，故．所以的解集为．
（2）由得．，故．
当时，，故
．
考点：1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值．
7
【题文】若函数的最小值3，则实数的值为（ ）
A．5或8
B．或5
C．或
D．或
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.
考点：1.绝对值函数的最值；2.分类讨论思想应用.

【题文】设函数
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由绝对值三角不等式得，由结合基本不等式得，故；（2）由，得关于的不等式，去绝对号解不等式即可．
（1）由，有，所以．
（2）．当时，，由得．
当时，，由得．综上，的取值范围是．
考点：1、绝对值三角不等式；2、基本不等式；3、绝对值不等式解法．
8
【题文】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
试题分析：令，其图象如下所示（图中的实线部分）

由图可知：
由题意得：，解这得:
所以答案应填：
考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.
9
【题文】设函数=
（1）证明：2；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（2）
【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.
试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.
（2）因为，所以
，解得：.
【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
10
题号：2162181，题型：填空题，难度：一般

标题/来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析），日期：2014/6/20
【题文】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……①
因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，
取最大值时，或，
当时，，
当时，，
综上可知当时，
法二：柯西不等式：由可得：

，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
这时或
当时，，
当时，，
综上可知当时，
考点：柯西不等式.
11
【题文】已知，则满足且 的概率为 .
【答案】
【解析】
试题分析：因为满足且 的平面区域是一个矩形，面积为，
而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.
考点：古典概型,简单的线性规划，圆的面积公式.
12
【题文】设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是 ，
此时a+b+c= .
【答案】
【解析】
试题分析：由柯西不等式得，
所以，
当且仅当且，即，
所以的最大值是 ，此时 .
考点：柯西不等式.
13
【题文】若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】
试题分析：
解：不等式至少有一个正解等价于不等式在内有解，
令，
当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图一所示，由题意知即
当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图二所示，由题意知方程组有两组不同的解，消去得，由得：，即
综上：，
所以答案应填

考点：1、含绝对值的不等式；2、等价转化与数形结合的思想.
14
【题文】不等式对任意实数恒成立，则正实数的取值范围 .
【答案】
【解析】
试题分析：因为不等式对任意实数恒成立，所以，利用绝对值的几何意义可知（当且仅当时等号成立），，从中求解得到或，而，所以.
考点：1.恒成立问题；2.绝对值的三角不等式；3.二次不等式.
15【题文】已知函数．
（1）解不等式；
（2）若不等式 , 都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）-1<m<2.
【解析】
试题分析：（1）利用分类讨论将原不等式中的绝对值号去掉，可得原不等式等价于或或最后将解得的三个不等式的解集求并集即可；（2），都成立可知需满足，求得f(x)的最小值后，解关于m的一元二次不等式即可.
（1）原不等式等价于或或
得或或，因此不等式的解集为 6分；
（2）
12分
.考点：1、解绝对值不等式；2、恒成立问题的处理方法.
16
【题文】若对于任意实数x不等式恒成立，则实数的取值范围是： ；
【答案】
【解析】
试题分析：∵对于任意实数x不等式恒成立，∴对于任意实数x恒成立，
∴或对于任意实数x恒成立，∴或，∴.
考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题.
17【题文】已知.
(1)求不等式的解集A;
(2)若不等式对任何恒成立,求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：(1)把不等式转化为即可. (2) 恒成立转化为,即.
(1)∴
(2)恒成立对恒成立.
∴取值范围是
考点：绝对值不等式的解法；简单的不等式恒成立的问题.
18
【题文】已知，且．
（1）试利用基本不等式求的最小值；
（2）若实数满足，求证：．
【答案】（1）3（2）参考解析
【解析】
试题分析：（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论.
（2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.
（1）由三个数的均值不等式得：

（当且仅当即时取“=”号），故有． 4分
（2），由柯西不等式得：

（当且仅当即时取“=”号）
整理得：，即． 7分
考点：1.柯西不等式.2.绝对值不等式.
17
【题文】若关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
试题分析：要求,方程化为,
显然满足上述方程，是方程的一个根
若
则方程两边同除以有
若则方程变为,即
若则方程变为即
若，(1)(2)均无解。显然不是(1)(2)的解
若方程有四个不同的实数根，之前已得到是原方程的根，则要求方程(1)(2)有3个根
对(1)若判别式,则．
对(2)若判别式,解得,
前已分析
若，则(1)有两个不相等实根，两根之积为，两根之和为,说明两根均为负值，但(1)方程前提条件是，因此时方程(1)在前提下无解，原方程不可能有4个不同的实数根。
若，（1）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若，（2）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若，方程(1)有两个不相等实根，两根之积为，两根之和为，说明有一个正根一个负根，在前提下，只有一个正根，则要求(2)有两个不相等的负根。则．要求．
对于(2)此时判别式，两根之和为, 两根之积，说明(2)有两个不相等的负根，之前要求，对(2)，若，则，显然不是方程的根。
综上所述，要求．
考点：含绝对值,未知字母方程的分类讨论．
18
【题文】已知a，bR，2a2-b2=1，则|2a-b|的最小值为 .
【答案】1
【解析】
试题分析：：,根据基本不等式：,,.
考点：基本不等式
19
【题文】设不等式的解集为M，.
（1）证明：；
（2）比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a－b|.
【解析】
试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将化为分段函数，解不等式求出M，再利用绝对值的运算性质化简得，由于，代入得；第二问，利用第一问的结论，作差比较大小，由于和均为正数，所以都平方，作差比较大小.
（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2＜－2x－1＜0解得，则． 3分
所以． 6分
（2）由（1）得，．
因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)
＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分
所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分
考点：绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.
20
【题文】已知函数
（1）当a=1时，解不等式
（2）若存在成立，求a的取值范围．
【答案】（1） （2）.
【解析】
试题分析：（1）当时，原不等式等价于 ，可采用零点分段法解不等式，即分成,,三种情况去绝对值，分别解不等式，最后求并集；属于基础题型；
（2）,分和两种情况去绝对值，得到分段函数，得到函数的最小值为,若存在成立,只需的最小值小于6，得到的取值范围，此问属于比较简单的恒成立问题.
（1）当时，不等式可化为，
当时，不等式即
当时，不等式即所以，
当时，不等式即，
综上所述不等式的解集为 5分
（2）令
所以函数最小值为，
根据题意可得，即，所以的取值范围为. 10分
考点：1.解不等式；2.恒成立问题.
21
【题文】不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】
试题分析：解不等式，得，解得，故不等式的解集为.
考点：绝对值不等式的求解
22
【题文】不等式有实数解的充要条件是_____.
【答案】．
【解析】
试题分析：记，则不等式有实数解等价于，因为，故
考点：绝对值三角不等式.
22
【题文】设变量满足，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1
B．2，-2
C．1，-2
D．2，-1
【答案】B
【解析】
试题分析：由约束条件，作出可行域如图，

设 ，则 ，平移直线 ，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．
考点：线性规划.
23
【题文】已知实数满足，证明：．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。
证明：证法一，∴，，
∴，． 2分
∴，即， 4分
∴，
∴， 6分
即，
∴． 8分
证法二：要证，
只需证 2分
只需证
只需证 4分
即． 6分
，∴，，∴成立．
∴要证明的不等式成立． 8分
考点：绝对值不等式；不等式证明的基本方法．
24
【题文】已知都是实数，且．
（1）求不等式的解集；
（2）若对满足条件的所有实数都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析: （1）首先把含有绝对值的函数转化为分段函数，再解不等式；（2）利用绝对值不等式的性质即可．
（1） 2分
由得或
解得或所以不等式的解集为 4分
（2） 6分
的解为或的解为
所求实数的范围为 8分
考点：分段函数；绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法．
25
【题文】设函数,其中,若不等式的解集为 ，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由 得此不等式化为不等式组 或即 或因为，所以不等式组的解集为
由题设可得= ，故，故选B．
26
【题文】设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵,,即,或．
∴实数的取值范围为，选C.
27
【题文】若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是（ ）
A．-2≤a≤2
B．-1≤a≤1
C．-2≤a≤4
D．-1≤a≤2
【答案】C
【解析】由题意知左边的最小值小于或等于3,
根据不等式的性质得|(x-a)-(x-1)|≤3,
∴|a-1|≤3,
∴-2≤a≤4.选C.
28
【题文】设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 .
【答案】R
【解析】考察绝对值不等式的基本知识。，函数的值域为：
.
所以，不等式的解集为R。
29
【题文】在实数范围内，不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因此解集为.
考点：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.
30
【题文】若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】先确定的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可．
当时，；
当时，；
当时，；
综上可得，所以只要，解得或，
即实数的取值范围是．
31
【题文】设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A,且∈A,∉A.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)=|x+a|+|x－2|的最小值.
【答案】（1）1
（2）3
【解析】(1)因为∈A,且,所以|－2|<a,且|－2|≥a,解得<a≤.又因为a∈N*,所以a=1.
(2)因为|x+1|+|x－2|≥|(x+1)－(x－2)|=3,
当且仅当(x+1)(x－2)≤0,即－1≤x≤2时取到等号,所以f(x)的最小值为3.
32
【题文】已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.
【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.
(2)3
【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=
当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;
当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;
当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.
(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),
则h(x)=
由|h(x)|≤2,解得≤x≤
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.
所以=1且=2
于是a=3.
33
【题文】在实数范围内,不等式的解集为　　　　.
【答案】[0,4]
【解析】由绝对值的性质知：
||x－2|－1|≤1－1≤|x－2|－1≤10≤|x－2|≤2－2≤x－2≤20≤x≤4
34【题文】已知关于x的不等式（其中）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围
【答案】（1）{x|−4≤x≤}；（2）．
【解析】
试题分析：本题主要考查对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将a=4代入，得到，然后用零点分段法解绝对值不等式，分情况讨论，解不等式组；第二问，将不等式有解转化为，用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，结合图形，求出函数的最小值，代入到所转化的表达式中，利用对数函数的单调性解对数不等式．
（1）当a=4时，不等式即|2x+1| |x 1|≤2，当x＜−时，不等式为 x 2≤2， 解 得−4≤x＜−；当−≤x≤1时，不等式为 3x≤2，解得−≤x≤ ；当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．
综上，不等式的解集为{x|−4≤x≤} 5分
（2）设f（x）="|2x+1|" |x 1|=
故f（x）的最小值为−，所以，当f（x）≤log2a有解，则有，解得a≥，
即a的取值范围是。 10分
考点：对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法．
35
【题文】已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
【答案】
【解析】
试题分析：解：
由关于x的不等式的解集不是空集得：
即a的最小值是，所以答案应填．
考点：1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．
36
【题文】已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为，利用双绝对值函数的最小值为
，于是得到，问题转化为来求解，解出不等式即可.
（1）由得，，或，或，
解得：或，原不等式的解集为；
（2）由不等式的性质得：，
要使不等式恒成立，则，
解得：或
所以实数的取值范围为.
考点：1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立
37
【题文】函数．
（1）若，求函数的定义域；
（2）设，当实数，时，求证：．
【答案】（1）≤或≥;（2）参考解析
【解析】
试题分析：（1）由，绝对值的零点分别为-1和-2.所以通过对实数分三类分别去绝对值可求得结论.
（2）由（1）可得定义域A.又，当实数，，所以可以求得实数，的范围. 需求证：，等价于平方的大小比较，通过求差法，又即可得到结论.
（1）由
解得≤或≥． 5分
（2），又．

及，．．． 10分
考点：1.绝对值不等式.2.求差法比较两个数的大小.
38
【题文】若，则函数的最大值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：∵，
∴．
考点：柯西不等式．
39
【题文】若不等式恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为（当且仅当即时等号成立），不等式恒成立即，所以的取值范围为.
考点：绝对值不等式.
40
【题文】对于实数，若，则的最大值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【解析】
试题分析：因为
又因为，可得，故选B.
考点：绝对值不等式.
41
【题文】函数，若不等式的解集为，则实数的值为 .
【答案】3
【解析】
试题分析：将代入得且，解之得.再将代入得其解集为，故.
考点：不等式选讲.
42
【题文】若存在实数使成立，则实数的取值范围_______
【答案】
【解析】由又因为存在实数使成立则，则
【考点】绝对值不等式；存在性问题.
43
【题文】已知，，，且．求证：．
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：由柯西不等式得
试题解析：因为
， 8分
当且仅当，即时，取等，
所以． 10分
考点：利用柯西不等式证明（难题）
43
【题文】已知，，，．求证．
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：利用分析法或作差法证明不等式. 即
，而显然成立，
【证明】因为，，所以，所以要证，
即证．
即证， 5分
即证，
而显然成立，
故． 10分
考点：不等式相关知识
44
【题文】若不等式的解集为，则的取值范围为________;
【答案】
【解析】
试题分析：令，则；若不等式的解集为，则的取值范围为.
考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题.
45
【题文】若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：不等式对于一切非零实数均成立.由.所以.解得.故选C.
考点：1.绝对值不等式.2.恒成立问题.
45
【题文】已知，且，求的最小值．
【答案】1.
【解析】
试题分析：观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.
试题解析：, ,
,
， 当且仅当，或时
的最小值是1.
考点：柯西不等式.
46
【题文】已知函数．
（1）求的解集；
（2）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力和数形结合思想.第一问，先将被开方数写成完全平方式，开方需要加绝对值，解绝对值不等式，利用零点分段法去掉绝对值符号，解不等式组；第二问，“对任意的都成立”转化为“的图象恒在图象的上方”利用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，画出分段函数图象，而恒过（3,0）点，将的直线绕（3,0）点旋转，找出符合题意的位置，得到k的取值范围.
试题解析：（1）
∴即
∴①或②或③
解得不等式①：；②：无解③：
所以的解集为或． 5分
（2）即的图象恒在图象的上方

图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴
由图可知，要使得的图象恒在图象的上方
∴实数的取值范围为． 10分

考点：绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象.
47
【题文】已知函数. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：，即的最小值等于4，所以，解此不等式得或. 故实数的取值范围为[－3，5].
考点：含绝对值的不等式性质
48
【题文】若实数a，b，c，d满足，，则a的最大值为 ．
【答案】2
【解析】
试题分析：由柯西不等式可得：
，所以由条件可得：，解得，a的最大值是2.
考点：柯西不等式
49
【题文】设a,b,c,d∈R,若a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则有　(　　)
A．ad=bc
B．ad<bc
C．ad>bc
D．ad≤bc
【答案】C
【解析】选C.|a-d|<|b-c|⇒(a-d)2<(b-c)2⇒a2+d2-2ad<b2+c2-2bc,
又因为a+d=b+c⇒(a+d)2=(b+c)2⇒a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,
所以-4ad<-4bc,所以ad>bc.
50
【题文】解不等式|x-1|+|x-2|>5.
【答案】(-∞,-1)∪(4,+∞)
【解析】根据绝对值的几何意义,|x-1|表示数轴上的点x到点1的距离,|x-2|表示数轴上的点x到点2的距离,所以不等式的解集为数轴上到1的距离与到2的距离的和大于5的实数的集合,所以不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞).
51
号：2075407，题型：解答题，难度：困难

标题/来源：2013-2014学年人教A版高中数学选修4-5课时提升1-2练习卷（带解析），日期：2014/5/11
【题文】已知实数a,b满足:关于x的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R均成立.
(1)请验证a=-2,b=-8满足题意.
(2)求出所有满足题意的实数a,b,并说明理由.
(3)若对一切x>2,均有不等式x2+ax+b≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析 (2)a=-2,b=-8，理由见解析 (3) (-∞,2]
【解析】(1)当a=-2,b=-8时,有
|x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8|
=|2x2-4x-16|.
(2)在|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中,
分别取x=4,x=-2,
得,所以,
所以a=-2,b=-8,
因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.
(3)由x2+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2),
所以x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x2-4x+7≥m(x-1),
所以对一切x>2,均有不等式≥m成立,
而=(x-1)+-2
≥2-2=2(当且仅当x=3时等号成立),
所以实数m的取值范围是(-∞,2].
52
【题文】已知a∈R,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.
(1)若a=1,求A.
(2)若A=R,求a的取值范围.
【答案】(1)A={x|x≤0,x≥2} (2)a≤-2
【解析】(1)当x≤-3时,原不等式为-3x-2≥2x+4,得x≤-3,
当-3<x≤时,原不等式化为4-x≥2x+4,得-3<x≤0.
当x>时,3x+2≥2x+4,得x≥2,
综上,A={x|x≤0,x≥2}.
(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.
当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,得x≥a+1或x≤,
所以a+1≤-2或a+1≤,得a≤-2.
综上,a的取值范围为a≤-2.
53
【题文】在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为　　　　.
【答案】[0,4]
【解析】
【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.
解：由绝对值的意义,||x-2|-1|≤1等价于0≤|x-2|≤2,即-2≤x-2≤2,
即0≤x≤4.
54
【题文】已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.
【答案】(-∞,-3]
【解析】
【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.
f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,
解：因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥
|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,
于是有m+1≤-2,得m≤-3,
即m的取值范围是(-∞,-3].
55
【题文】已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1.
求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
【答案】见解析
【解析】
证明：|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|
=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),
所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
56
【题文】已知f(x)=3x+1,若当|x-1|<b时,有|f(x)-4|<a,a,b∈(0,+∞),则a,b满足的关系为　　　　.
【答案】a-3b≥0
【解析】因为|f(x)-4|=|3x-3|=3|x-1|<a,
所以|x-1|<,又当|x-1|<b时,有|f(x)-4|<a,
即|x-1|<b⇒|x-1|<,所以b≤.
57
【题文】不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围
为　(　　)
A．[-1,4]
B．( -∞,-1]∪[4,+∞)
C．(-∞,-2]∪[5,+∞)
D．[-2,5]
【答案】A
【解析】选A.由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为4,所以不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
58
【题文】已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是　(　　)
A．|a+b|>|a-b|
B．|a+b|<|a-b|
C．|a-b|<||a|-|b||
D．|a-b|<|a|+|b|
【答案】B
【解析】选B.因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|,
又|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a|+|b|=|a-b|.
59
【题文】设正数a,b,c满足a+b+c=1,则++的最小值为　　　　　　.
【答案】1
【解析】
因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,
所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.
于是[(3a+2)+(3b+2)+ (3c+2)]≥3·
3=9,
当且仅当a=b=c=时等号成立,
即++≥1,故++的最小值为1.
60
【题文】设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )
A．2
B．－3
C．7
D．0
【答案】B
【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，
又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.
61【题文】已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝(　　)
A．0
B．-1
C．-2
D．-3
【答案】A
【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，，
∴t＝0，选A.
62【题文】若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．－1
D．2
【答案】B
【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，
∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.
故实数a的最大值为1，选B.