绝对值不等式与柯西不等式-(2).doc

绝对值不等式与柯西不等式
一、 基础训练
1
【题文】设，且，则的最小值为______.
【答案】
试题分析：由柯西不等式得：，所以，得
，所以，故答案为.
考点：柯西不等式.
2
【题文】，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.
考点：含绝对值不等式的性质
3
【题文】(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.
考点：含绝对值不等式性质
4
【题文】不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】
试题分析：令，则，
（1）当时，由得，解得，此时有；
（2）当时，，此时不等式无解；
（3）当时，由得，解得，此时有；
综上所述，不等式的解集为.
【考点定位】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.
5
【题文】（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将
已知定义在R上的函数的最小值为.
（I）求的值；
（II）若为正实数，且，求证：.
【答案】（I）;（II）参考解析
【解析】
试题分析：（I）已知定义在R上的函数的最小值,由绝对值的性质可得函数的最小值.即可得到结论.
（II）由（I）可得,再根据柯西不等式即可得到结论.
试题解析：（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.
（II）由（I）知,又因为是正数,所以,即.
考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.
6
【题文】设函数，，记的解集为M，的解集为N.
（1）求M；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）不等式变形为，然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集
；（2）解不等式，得．故．当时，，此时．代入中为二次函数，求其最大值即可．
（1）当时，由得．故；当时，
由得，故．所以的解集为．
（2）由得．，故．
当时，，故
．
考点：1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值．
7
【题文】若函数的最小值3，则实数的值为（ ）
A．5或8
B．或5
C．或
D．或
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.
考点：1.绝对值函数的最值；2.分类讨论思想应用.

【题文】设函数
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由绝对值三角不等式得，由结合基本不等式得，故；（2）由，得关于的不等式，去绝对号解不等式即可．
（1）由，有，所以．
（2）．当时，，由得．
当时，，由得．综上，的取值范围是．
考点：1、绝对值三角不等式；2、基本不等式；3、绝对值不等式解法．
8
【题文】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
试题分析：令，其图象如下所示（图中的实线部分）

由图可知：
由题意得：，解这得:
所以答案应填：
考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.
9
【题文】设函数=
（1）证明：2；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（2）
【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.
试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.
（2）因为，所以
，解得：.
【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
10
题号：2162181，题型：填空题，难度：一般

标题/来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析），日期：2014/6/20
【题文】对于，当非零实数ab满足，且使最大时，的最小值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……①
因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，
取最大值时，或，
当时，，
当时，，
综上可知当时，
法二：柯西不等式：由可得：

，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
这时或
当时，，
当时，，
综上可知当时，
考点：柯西不等式.
11
【题文】已知，则满足且 的概率为 .
【答案】
【解析】
试题分析：因为满足且 的平面区域是一个矩形，面积为，
而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.
考点：古典概型,简单的线性规划圆的面积公式.
12
【题文】设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是 ，
此时a+b+c= .
【答案】
【解析】
试题分析：由柯西不等式得，
所以，
当且仅当且，即，
所以的最大值是 ，此时 .
考点：柯西不等式.
13
【题文】若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】
试题分析：
解：不等式至少有一个正解等价于不等式在内有解，
令，
当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图一所示，由题意知即
当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图二所示，由题意知方程组有两组不同的解，消去得，由得：，即
综上：，

所以答案应填

考点：1、含绝对值的不等式；2、等价转化与数形结合的思想.
14
【题文】不等式对任意实数恒成立，则正实数的取值范围 .
【答案】
【解析】
试题分析：因为不等式对任意实数恒成立，所以，利用绝对值的几何意义可知（当且仅当时等号成立），，从中求解得到或，而，所以.
考点：1.恒成立问题；2.绝对值的三角不等式；3.二次不等式.
15【题文】已知函数．
（1）解不等式；
（2）若不等式 , 都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）-1得的三个不等式的解集求并集即可；（2），都成立可知需满足，求得f(x)的最小值后，解关于m的一元二次不等式即可.
（1）原不等式等价于或或
得或或，因此不等式的解集为 6分；
（2）
12分
.考点：1、解绝对值不等式；2、恒成立问题的处理方法.
16
【题文】若对于任意实数x不等式恒成立，则实数的取值范围是： ；
【答案】
【解析】
试题分析：∵对于任意实数x不等式恒成立，∴对于任意实数x恒成立，
∴或对于任意实数x恒成立，∴或，∴.
考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题.
17【题文】已知.
(1)求不等式的解集A;
(2)若不等式对任何恒成立,求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：(1)把不等式转化为即可. (2) 恒成立转化为,即.
(1)∴
(2)恒成立对恒成立.
∴取值范围是
考点：绝对值不等式的解法；简单的不等式恒成立的问题.
18
【题文】已知，且．
（1）试利用基本不等式求的最小值；
（2）若实数满足，求证：．
【答案】（1）3（2）参考解析
【解析】
试题分析：（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论.
（2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.
（1）由三个数的均值不等式得：

（当且仅当即时取“=”号），故有． 4分
（2），由柯西不等式得：

（当且仅当即时取“=”号）
整理得：，即． 7分
考点：1.柯西不等式.2.绝对值不等式.
17
【题文】若关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
试题分析：要求,方程化为,
显然满足上述方程，是方程的一个根
若
则方程两边同除以有
若则方程变为,即
若则方程变为即
若，(1)(2)均无解。显然不是(1)(2)的解
若方程有四个不同的实数根，之前已得到是原方程的根，则要求方程(1)(2)有3个根
对(1)若判别式,则．
对(2)若判别式,解得,
前已分析
若，则(1)有两个不相等实根，两根之积为，两根之和为,说明两根均为负值，但(1)方程前提条件是，因此时方程(1)在前提下无解，原方程不可能有4个不同的实数根。
若，（1）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若，（2）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若，方程(1)有两个不相等实根，两根之积为，两根之和为，说明有一个正根一个负根，在前提下，只有一个正根，则要求(2)有两个不相等的负根。则．要求．
对于(2)此时判别式，两根之和为, 两根之积，说明(2)有两个不相等的负根，之前要求，对(2)，若，则，显然不是方程的根。
综上所述，要求．
考点：含绝对值,未知字母方程的分类讨论．
18
【题文】已知a，bR2a2-b2=1，则|2a-b|的最小值为 .
【答案】1
【解析】
试题分析：：,根据基本不等式：,,.
考点：基本不等式
19
【题文】设不等式的解集为M，.
（1）证明：；
（2）比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a－b|.
【解析】
试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将化为分段函数，解不等式求出M，再利用绝对值的运算性质化简得，由于，代入得；第二问，利用第一问的结论，作差比较大小，由于和均为正数，所以都平方，作差比较大小.
（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2＜－2x－1＜0解得，则． 3分
所以． 6分
（2）由（1）得，．
因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)
＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分
所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分
考点：绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.
20
【题文】已知函数
（1）当a=1时，解不等式
（2）若存在成立，求a的取值范围．
【答案】（1） （2）.
【解析】
试题分析：（1）当时，原不等式等价于 ，可采用零点分段法解不等式，即分成,,三种情况去绝对值，分别解不等式，最后求并集；属于基础题型；
（2）,分和两种情况去绝对值，得到分段函数，得到函数的最小值为,若存在成立,只需的最小值小于6，得到的取值范围，此问属于比较简单的恒成立问题.
（1）当时，不等式可化为，
当时，不等式即
当时，不等式即所以，
当时，不等式即，
综上所述不等式的解集为 5分
（2）令
所以函数最小值为，
根据题意可得，即，所以的取值范围为. 10分
考点：1.解不等式；2.恒成立问题.
21
【题文】不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】
试题分析：解不等式，得，解得，故不等式的解集为.
考点：绝对值不等式的求解
22
【题文】不等式有实数解的充要条件是_____.
【答案】．
【解析】
试题分析：记，则不等式有实数解等价于，因为，故
考点：绝对值三角不等式.
22
【题文】设变量满足，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1
B．2，-2
C．1，-2
D．2，-1
【答案】B
【解析】
试题分析：由约束条件，作出可行域如图，

设 ，则 ，平移直线 ，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．
考点：线性规划.
23
【题文】已知实数满足，证明：．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。
证明：证法一，∴，，
∴，． 2分
∴，即， 4分
∴，
∴， 6分
即，
∴． 8分
证法二：要证，
只需证 2分
只需证
只需证 4分
即． 6分
，∴，，∴成立．
∴要证明的不等式成立． 8分
考点：绝对值不等式；不等式证明的基本方法．
24
【题文】已知都是实数，且．
（1）求不等式的解集；
（2）若对满足条件的所有实数都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析: （1）首先把含有绝对值的函数转化为分段函数，再解不等式；（2）利用绝对值不等式的性质即可．
（1） 2分
由得或
解得或所以不等式的解集为 4分
（2） 6分
的解为或的解为
所求实数的范围为 8分
考点：分段函数；绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法．
25
【题文】设函数,其中,若不等式的解集为 ，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由 得此不等式化为不等式组 或即 或因为，所以不等式组的解集为
由题设可得= ，故，故选B．
26
【题文】设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵,,即,或．
∴实数的取值范围为，选C.
27
【题文】若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是（ ）
A．-2≤a≤2
B．-1≤a≤1
C．-2≤a≤4
D．-1≤a≤2
【答案】C
【解析】由题意知左边的最小值小于或等于3,
根据不等式的性质得|(x-a)-(x-1)|≤3,
∴|a-1|≤3,
∴-2≤a≤4.选C.
28
【题文】设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 .
【答案】R
【解析】考察绝对值不等式的基本知识。，函数的值域为：
.
所以，不等式的解集为R。
29
【题文】在实数范围内，不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因此解集为.
考点：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.
30
【题文】若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】先确定的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可．
当时，；
当时，；
当时，；
综上可得，所以只要，解得或，
即实数的取值范围是．
31
【题文】设不等式|x－2|∈N*,所以a=1.
(2)因为|x+1|+|x－2|≥|(x+1)－(x－2)|=3,
当且仅当(x+1)(x－2)≤0,即－1≤x≤2时取到等号,所以f(x)的最小值为3.
32
【题文】已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.
【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.
(2)3
【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=
当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;
当2时, f(x)≥4－|x－4|无解;
当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.
(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),
则h(x)=
由|h(x)|≤2,解得≤x≤
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.
所以=1且=2
于是a=3.
33
【题文】在实数范围内,不等式的解集为　　　　.
【答案】[0,4]
【解析】由绝对值的性质知：
||x－2|－1|≤1－1≤|x－2|－1≤10≤|x－2|≤2－2≤x－2≤20≤x≤4
34【题文】已知关于x的不等式（其中）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围
【答案】（1）{x|−4≤x≤}；（2）．
【解析】
试题分析：本题主要考查对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将a=4代入，得到，然后用零点分段法解绝对值不等式，分情况讨论，解不等式组；第二问，将不等式有解转化为，用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，结合图形，求出函数的最小值，代入到所转化的表达式中，利用对数函数的单调性解对数不等式．
（1）当a=4时，不等式即|2x+1| |x 1|≤2，当x＜−时，不等式为 x 2≤2， 解 得−4≤x＜−；当−≤x≤1时，不等式为 3x≤2，解得−≤x≤ ；当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．
综上，不等式的解集为{x|−4≤x≤} 5分
（2）设f（x）="|2x+1|" |x 1|=
故f（x）的最小值为−，所以，当f（x）≤log2a有解，则有，解得a≥，
即a的取值范围是。 10分
考点：对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法．
35
【题文】已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
【答案】
【解析】
试题分析：解：
由关于x的不等式的解集不是空集得：
即a的最小值是，所以答案应填．
考点：1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．
36
【题文】已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为，利用双绝对值函数的最小值为
，于是得到，问题转化为来求解，解出不等式即可.
（1）由得，，或，或，
解得：或，原不等式的解集为；
（2）由不等式的性质得：，
要使不等式恒成立，则，
解得：或
所以实数的取值范围为.
考点：1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立
37
【题文】函数．
（1）若，求函数的定义域；
（2）设，当实数，时，求证：．
【答案】（1）≤或≥;（2）参考解析
【解析】
试题分析：（1）由，绝对值的零点分别为-1和-2.所以通过对实数分三类分别去绝对值可求得结论.
（2）由（1）可得定义域A.又，当实数，，所以可以求得实数，的范围. 需求证：，等价于平方的大小比较，通过求差法，又即可得到结论.
（1）由
解得≤或≥． 5分
（2），又．

及，．．． 10分
考点：1.绝对值不等式.2.求差法比较两个数的大小.
38
【题文】若，则函数的最大值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：∵，
∴．
考点：柯西不等式．
39
【题文】若不等式恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为（当且仅当即时等号成立），不等式恒成立即，所以的取值范围为.
考点：绝对值不等式.
40
【题文】对于实数，若，则的最大值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【解析】
试题分析：因为
又因为，可得，故选B.
考点：绝对值不等式.
41
【题文】函数，若不等式的解集为，则实数的值为 .
【答案】3
【解析】
试题分析：将代入得且，解之得.再将代入得其解集为，故.
考点：不等式选讲.

42
【题文】若存在实数使成立，则实数的取值范围_______
【答案】
【解析】由又因为存在实数使成立则，则
【考点】绝对值不等式；存在性问题.
43
【题文】已知，，，且．求证：．
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：由柯西不等式得
试题解析：因为
， 8分
当且仅当，即时，取等，
所以． 10分
考点：利用柯西不等式证明（难题）
43
【题文】已知，，，．求证．
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：利用分析法或作差法证明不等式. 即
，而显然成立，
【证明】因为，，所以，所以要证，
即证．
即证， 5分
即证，
而显然成立，
故． 10分
考点：不等式相关知识
44
【题文】若不等式的解集为，则的取值范围为________;
【答案】
【解析】
试题分析：令，则；若不等式的解集为，则的取值范围为.
考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题.
45
【题文】若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：不等式对于一切非零实数均成立.由.所以.解得.故选C.
考点：1.绝对值不等式.2.恒成立问题.
45
【题文】已知，且，求的最小值．
【答案】1.
【解析】
试题分析：观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.
试题解析：, ,
,
， 当且仅当，或时
的最小值是1.
考点：柯西不等式.
46
【题文】已知函数．
（1）求的解集；
（2）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力和数形结合思想.第一问，先将被开方数写成完全平方式，开方需要加绝对值，解绝对值不等式，利用零点分段法去掉绝对值符号，解不等式组；第二问，“对任意的都成立”转化为“的图象恒在图象的上方”利用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，画出分段函数图象，而恒过（3,0）点，将的直线绕（3,0）点旋转，找出符合题意的位置，得到k的取值范围.
试题解析：（1）
∴即
∴①或②或③
解得不等式①：；②：无解③：
所以的解集为或． 5分
（2）即的图象恒在图象的上方

图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴
由图可知，要使得的图象恒在图象的上方
∴实数的取值范围为． 10分

考点：绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象.
47
【题文】已知函数. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：，即的最小值等于4，所以，解此不等式得或. 故实数的取值范围为[－3，5].
考点：含绝对值的不等式性质
48
【题文】若实数a，b，c，d满足，，则a的最大值为 ．
【答案】2
【解析】
试题分析：由柯西不等式可得：
，所以由条件可得：，解得，a的最大值是2.
考点：柯西不等式
49
【题文】设a,b,c,d∈R,若a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则有　(　　)
A．ad=bc
B．adbc
D．ad≤bc
【答案】C
【解析】选C.|a-d|<|b-c|⇒(a-d)2<(b-c)2⇒a2+d2-2ad2bc,
又因为a+d=b+c⇒(a+d)2=(b+c)2⇒a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,
所以-4ad<-4bc,所以ad>bc.
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【题文】解不等式|x-1|+|x-2|>5.
【答案】(-∞,-1)∪(4,+∞)
【解析】根据绝对值的几何意义,|x-1|表示数轴上的点x到点1的距离,|x-2|表示数轴上的点x到点2的距离,所以不等式的解集为数轴上到1的距离与到2的距离的和大于5的实数的集合,所以不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞).
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号：2075407，题型：解答题，难度：困难

标题/来源：2013-2014学年人教A版高中数学选修4-5课时提升1-2练习卷（带解析），日期：2014/5/11
【题文】已知实数a,b满足:关于x的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R均成立.
(1)请验证a=-2,b=-8满足题意.
(2)求出所有满足题意的实数a,b,并说明理由.
(3)若对一切x>2,均有不等式x2+ax+b≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析 (2)a=-2,b=-8，理由见解析 (3) (-∞,2]
【解析】(1)当a=-2,b=-8时,有
|x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8|
=|2x2-4x-16|.
(2)在|x2ax+b|≤|2x2-4x-16|中,
分别取x=4,x=-2,
得,所以,
所以a=-2,b=-8,
因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.
(3)由x2+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2),
所以x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x2-4x+7≥m(x-1),
所以对一切x>2,均有不等式≥m成立,
而=(x-1)+-2
≥2-2=2(当且仅当x=3时等号成立),
所以实数m的取值范围是(-∞,2].
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【题文】已知a∈R,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.
(1)若a=1,求A.
(2)若A=R求a的取值范围.
【答案】(1)A={x|x≤0,x≥2} (2)a≤-2
【解析】(1)当x≤-3时,原不等式为-3x-2≥2x+4,得x≤-3,
当-3时,3x+2≥2x+4,得x≥2,
综上,A={x|x≤0,x≥2}.
(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.
当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,得x≥a+1或x≤,
所以a+1≤-2或a+1≤,得a≤-2.
综上,a的取值范围为a≤-2.
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【题文】在实数范围内,不等式||x-2|-1≤1的解集为　　　　.
【答案】[0,4]
【解析】
【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.
解：由绝对值的意义,||x-2|-1|≤1等价于0≤|x-2|≤2,即-2≤x-2≤2,
即0≤x≤4.
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【题文】已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.
【答案】(-∞,-3]
【解析】
【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.
f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,
解：因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥
|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,
于是有m+1≤-2,得m≤-3,
即m的取值范围是(-∞,-3].
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【题文】已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1.
求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
【答案】见解析
【解析】
证明：|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|
=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),
所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
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【题文】已知f(x)=3x+1,若当|x-1|5,+∞)
D．[-2,5]
【答案】A
【解析】选A.由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为4,所以不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
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【题文】已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是　(　　)
A．|a+b|>|a-b|
B．|a+b|<|a-b|
C．|a-b|<||a|-|b||
D．|a-b|<|a|+|b|
【答案】B
【解析】选B.因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|,
又|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a|+|b|=|a-b|.
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题文】设正数a,b,c满足a+b+c=1,则++的最小值为　　　　　　.
【答案】1
【解析】
因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,
所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.
于是[(3a+2)+(3b+2)+ (3c+2)]≥3·
3=9,
当且仅当a=b=c=时等号成立,
即++≥1,故++的最小值为1.
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【题文】设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )
A．2
B．－3
C．7
D．0
【答案】B
【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，
又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.
61【题文】已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝(　　)
A．0
B．-1
C．-2
D．-3
【答案】A
【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，，
∴t＝0，选A.
62【题文】若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．－1
D．2
【答案】B
【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，
∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.
故实数a的最大值为1，选B.