二次函数闭区间上的最值问题.doc

二次函数闭区间上的最值问题与根的分布
一、二次函数闭区间上的最值问题
一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得对称轴方程
当时，抛物线开口向上
若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；
若
当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当时

当时

1. 定二次函数在定区间上的最值
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数在区间上的最大值是_________，最小值是_______。
例1： 解：函数是定义在区间上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。
例2. 已知，求函数的最值。
例2： 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。
解后反思：已知二次函数（不妨设），它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在上的最大值或最小值：
（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时
若，由在上是增函数
则的最小值是，最大值是
若，由在上是减函数
则的最大值是，最小值是
2. 动二次函数在定区间上的最值
二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例3. 已知，且，求函数的最值。
例3：解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：

二次函数的对称轴方程是
顶点坐标为，图象开口向上
由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。
函数的最小值是，最大值是。
例4. 已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。
例4： 解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间上。
若，函数图象开口向下，如图4所示，当时，函数取得最大值5
即
解得
故
若时，函数图象开口向上，如图5所示，当时，函数取得最大值5
即
解得
故
综上讨论，函数在区间上取得最大值5时，
解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。
3. 定二次函数在动区间上的最值
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例5. 如果函数定义在区间上，求的最小值。
例5： 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图6所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有。当时，函数取得最小值
。
如图7所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值
。
如图8所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值

综上讨论，
例6. 设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式。
例6： 解：将二次函数配方得：

其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上
若顶点横坐标在区间左侧，则，即。当时，函数取得最小值

若顶点横坐标在区间上，则，即。当时，函数取得最小值

若顶点横坐标在区间右侧，则，即。当时，函数取得最小值

综上讨论，得
4. 动二次函数在动区间上的最值
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例7. 已知，且当时，的最小值为4，求参数a的值。
例7： 解：将代入S中，得

则S是x的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。
若，即
则当时，
此时，，或
若，即
则当时，
此时，，或（因舍去）
综上讨论，参变数a的取值为，或，或
另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。
课后练习：

区间最值问题答案

6