第七课时二次函数在闭区间上最值问题研究.doc

两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略
诸暨二中高一备课组
影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。就高中学生而言，感到困难的主要是这两类问题：一是动函数定区间，二是定函数动区间。本文以实例说明具体的求解方法，供读者参考。
一. 动函数定区间
1.抛物线的开口方向影响二次函数的最值
例1.已知二次函数 在 上有最大值4，求
实数 的值。
解：因为有固定的对称轴 ，且
（1）若 时，则 即 ∴
（2）若 时，则 即 ∴
综上可知： 或
2.抛物线的对称轴影响二次函数的最值
例2.已知二次函数 在 上有最大值2，求的值。
解：分析：对称轴 与区间 的相应位置分三种情况讨论：
（1）当 时， ∴
（2）当 时， 即 无解；
（3）当 时， ∴
综上可知： 或
例3.已知二次函数 在 上有最小
值，求实数 的值。
解：分析：对称轴 与区间 的中点相对位置分两种情况讨论。
（1）当 时， ∴
（2）当 时， ∴
综上可知： 或
例4.设是正数， ，若 的最大值是 ，试求 的表达式。
分析：将代数式 表示为一个字母，由 解出y后代入、消元，建立关于χ的二次方程，仍看成求动函数定区间的最值问题。
解：设 将 代入消去y得

∵ ∴ 而 ∴
（1）当 即 或 时

（2）当 即 时

（3）当 即 时

综上可知：

二.定函数动区间
1.区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值,
例5.已知二次函数 当 上有最小值
，试求 的解析式。
解：分析：区间与相对于对称轴的位置分三种情况讨论
（1）当 即 时，
（2）当 即 时，
（3）当 时，
综上可知：

例6.已知二次函数 ，当 上的最大值为 ，试求 的解析式。
解：分析：只要对区间中点是在对称轴 的左侧还是右侧进行讨论就可以了。
（1）当 ，即 时，
（2）当 ，即 时，
综上可知：

2.区间的长度不变，影响二次函数的最值
例7.已知二次函数 在
上有最大值7，求实数的值。
解：分析：分区间包含对称轴或不包含对称轴为两种情况讨论。
（1）当 且 即 时
∴
（2）当 且 即 时
∴
综上可知： 或
二次函数在闭区间上的最值
姓名____________班级____________
1．函数在上的最小值和最大值分别是（ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 3
2．函数在区间上的最小值是
2
3．函数的最值为
最大值为8，最小值为0 不存在最小值，最大值为8
（C）最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值
4．如果实数满足，那么有 （ ）
(A)最大值为 1 , 最小值为 (B)无最大值，最小值为
（C）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为
5．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的
取值范围是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
6．若函数的取值范围是______________________
8．若，那么的最小值为__________________
9．设是方程的两个实根，则的最小值______
10．设求函数的最小值的解析式。

11．已知函数上的最大值是1，则实数a的值为

12．已知，在区间上的最大值为，求的最小值。