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二次函数在给定区间上的最值问题

【学前思考】
二次函数在闭区间上取得最值时的，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.

【知识要点＆例题精讲】
二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是：
CaseⅠ、给定区间确定，对称轴位置也确定
说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.
解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；
（ii）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.

例1、二次函数在闭区间上的最大值是_______.

例2、函数在区间上的最大值是_______，最小值是_______.

例3、已知，则函数的最大值是_______，最小值是______.

CaseⅡ、给定区间确定，对称轴位置变化
说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.
解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数（）在给定区间上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以的情形进行分析：
（ⅰ）若，即对称轴在给定区间的左侧，则函数在给定区间上单调递增，此时，；
（ⅱ）若，即对称轴在给定区间的内部，则函数在上单调递减，在上单调递增，此时，或，至于最大值究竟是还是，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若，则；若，则；
（ⅲ）若，即对称轴在给定区间的右侧，则函数在给定区间上单调递减，此时，.
综上可知，当时，
；
.

通过同样的分析可得到：当时，
；
.

例4、已知且，求函数的最值.

例5、求函数在区间上的最大值.

例6、求函数在区间上的最大值和最小值.

例7、设函数（），当时，求函数在区间上的最小值的解析式.

例8、已知函数，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是_______.

CaseⅢ、给定区间变化，对称轴位置确定
说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数. 解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.
解法：若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其对称轴的横坐标. 解决方法与知识点2类似，这里不再赘述.
例9、已知函数定义在区间（）上，求的最小值.

例10、已知函数，当（）时，求的最大值.

CaseIV、与二次函数最值问题有关的综合题型
利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：
（1）求函数的最值或最值的取值范围；
（2）求函数的解析式；
（3）证明不等式；
（4）求参数的取值范围；
（5）探究参数是否存在；
……

例11、设函数，，为常数.
（I）求的最小值的解析式；
（II）在（I）中，是否存在最小的整数，使得对于任意均成立. 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（I）函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线
（i）若，即
此时函数的对称轴不在区间上，在区间上单调递增
于是
（ii）若，即
此时函数的对称轴不在区间上，在区间上单调递减
于是
（iii）若，即
此时函数的对称轴在区间上，在区间上单调递减，在区间上单调递增
于是
综上可知，
（II）要使对于任意的均成立，只需，
下求
由函数的图像可见，在上单调递增，在上单调递减

于是
又
故的最小值为

例12、已知函数（），记是在区间上的最大值.
（Ⅰ）当且时，求的值；
（Ⅱ）若，证明.
【解析】（I）函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线
而函数的图像是将函数在轴上方的图像保持不变、把它在轴下方的图像翻折上去得到的
（I）当时，函数
（i）若
此时函数的对称轴不在区间上，在区间上单调递增
于是
，即（舍去）
（ii）若
此时函数的对称轴不在区间上，在区间上单调递减
于是
，即（舍去）
（iii）若
此时函数的对称轴在区间上，在区间上单调递减，在区间上单调递增
于是
当时，，舍去
当时， 或，均舍去
综上可知，或
（II）

又
，
，
于是有
故，即

例13、（2015浙江高考）已知函数（，），记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足时，求的最大值.
【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题. 解决此类问题的关键是正确理解“是在区间上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。
【解析】（1）函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线
而函数的图像是将函数在轴上方的图像保持不变、把它在轴下方的图像翻折上去得到的
，即

此时函数的对称轴不在区间上
于是函数在区间上单调
故

（2）

于是有，，即，
，
即，
又，

于是
又当，时，，且在区间上的最大值为2，即
故的最大值为

例14、已知函数，设函数在区间上的最大值为.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若对任意的，恒成立，试求的最大值．
【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题以及函数恒成立问题，解决此类问题的关键是正确理解“是在区间上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识.
【解析】函数的图像是开口向下，对称轴为直线的抛物线
而函数的图像是将函数在轴上方的图像保持不变、把它在轴下方的图像翻折上去得到的
（1）当时，函数
此时其对称轴不在区间上，在区间上单调递增
故

（2）要使对任意的，恒成立，只需
下求的最小值.

（i）若，即
此时函数的对称轴不在区间上
函数在区间上单调
于是

（ii）若，即
此时函数的对称轴在区间上
于是
①当时，
此时

②当时，
此时

由（i），（ii）可知，对任意的，，都有
又当，时，在区间上的最大值为，即
故对任意的，恒成立的的最大值为.

【课后总结】
解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是关于二次函数的对称轴与给定区间的位置关系的讨论. 一般分为：二次函数的对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况，然后根据不同情况求出相应最值. 建议在理解相关结论或解题时，一定要注意结合二次函数的图像，做到数形结合。须知：函数图像就是指路明灯！！！

【习题精练】
1、若，且，则（ ）
A. B.
C. D.

2、（2013浙江高考）已知，，，函数. 若，则（ ）
A. B.
C. D.

3、（2017浙江高考）若函数在上的最大值是，最小值是，则（ ）
A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关

4、已知函数（）对任意的实数，都有成立. 若当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D.

5、已知一次函数（）的图像不经过第一象限，且在区间上的最大值和最小值分别为1和-2，则函数在区间上的最大值为（ ）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1

6、设函数在上单调递减，则实数的取值范围是_______.

7、已知二次函数满足，且，，若函数在区间上的值域是，则_______，_______.

8、已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是_______.

9、已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有（ ）
A. 最小值-3 B. 最大值-3 C. 最小值2 D. 最大值2

10、已知为常数，函数在区间上的最大值为，则____.

11、已知，若函数在闭区间上的最大值为，最小值为，令，则的解析式为_________.

12、（2013辽宁高考）已知函数，，设，，（表示，中的较大值，表示，中的较小值）. 记的最小值为，的最大值为，则_______.

13、已知一次函数是上的增函数，，且有.
（1）求；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若当时，有最大值，求实数的值.

14、已知函数，．
（I）若方程在上有实数根，求实数的取值范围；
（II）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；
（III）若函数（）的值域为区间，是否存在常数，使区间的长度为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（注：区间的长度为）．

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