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二次函数在闭区间上的最值归纳

二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨
设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：

即

图象

最大、最小值

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若，则，；
（2）若，则，
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习
例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。
解：对称轴，故函数在区间上单调。
（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；
（2）当时，函数在区间上是减函数，故
例2、求函数的最小值。
解：对称轴
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当时，；
（2）当时，。
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（1）当时，，；
（2）当时， ，；
（3）当时，，；
（4）当时， ，。
例3、求函数在区间上的最小值。
解：对称轴
（1）当即时，；
（2）当即时，；
（3）当即时，

例4、讨论函数的最小值。
解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，，当，，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）

因此，（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，