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二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得顶点为、对称轴为
当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：
（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时
若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是
若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是
当时，可类比得结论。
二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知，求函数的最值。

2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数定义在区间上，求的最值。

例3. 已知，当时，求的最值．

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当时

当时

3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知，且，求函数的最值。
例5. (1) 求在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数在上的最大值。

4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例6. 已知，求的最小值。

（二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。

例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。

例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。

二次函数在闭区间上的最值专题演练
1．函数在上的最小值和最大值分别是 （ ） 1 ,3 　 ,3　　 （C） ,3 　 （D）, 3　
2．函数在区间 上的最小值是 （　　　）　　 　　 　　 2
3．函数的最值为 （　　　）
最大值为8，最小值为0　　　　　　不存在最小值，最大值为8　　　 　
（C）最小值为0, 不存在最大值　　　　 不存在最小值，也不存在最大值
4．若函数的取值范围是______________________
5．已知函数上的最大值是1，则实数a的值为_____________.
6．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
7．设求函数的最小值.
8. 已知函数上具有单调性，求实数k的取值范围。
9. 若函数恒成立，则a的取值范围（ ）
A. B. C. D.
10.. 已知函数内单调递减，则a取（ ）
A. B. C.<-3 D.
11. 已知函数上是单调函数，求k的取值范围。
12. 已知函数上有最大值是3，最小值是2，求m的取值范围。
13. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=________.
14. 已知函数上的最小值为3，求a的值。
15.求函数的单调区间。
16. 已知函数下列定义域上的值域：
（1）定义域为︱ （2）定义域为[-2,1].
17. 已知函数若，有恒成立，求a的取值范围。
18. 已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值。
19已知二次函数的函数值总为负数，求a的取值范围。
20. 已知二次函数的图像与x轴总有交点，求m的取值范围。
21. 已知二次函数顶点在y轴上，求m的值。
22. 已知函数的图像关于y轴对称，求m的值。
23. 已知函数对一切x恒成立，求m的取值范围。
24. 已知函数是单调增函数，求实数a的取值范围。
25. 已知函数有负值，求a的取值范围。
26. 已知函数的图像在x轴下方，求m的值。
27. 已知函数对于一切成立，求a的取值范围。
28. 已知函数，当时是减函数，求m的取值范围。
29已知函数的定义域是R，求a的取值范围。
30.已知函数的值域为[0,，求a的值。
31. . 已知函数对于恒成立，，求m的取值范围。
32. . 已知函数在上是单调函数，则b的取值范围。
33.已知函数，求在上的最小值。
34. .已知函数，在上是单调函数，求a的取值范围。
35.已知函数，在上是偶函数，求a的取值范围。
36.当a=-2时，求.函数在上的最小值。
37. 已知函数的定义域为R，求a的取值范围。
38. 已知函数，求上的最值。
39. 已知函数，求上的最值。
40. 已知函数，上的最值为2，求a的值。
41. 已知函数：
（1）若，求f(x)的最小值。
（2）若，求f(x)的最小值。
（3）若，求f(x)的最小值。
42. 已知函数，求上的最大值。
43. 已知函数，求上的最值。
44. 已知函数，求上的最值。
45. 已知函数，求上的最值。
46. 已知函数，求上的最大值。
47. 已知函数，求上的最值。
48. 已知函数，求上的最大值。
49. 已知函数，在上的最大值为4，求a的值。
50. 若不等式在内恒成立，求a的取值范围。
51. 已知函数，求上的最值。
52. 已知函数，求上的最值。
53. 已知函数，求上的最值。
54. 已知函数，求上的最值。
55. 已知函数，求上的最值。
56. 已知函数，当t取何值时，函数的最小值为0.
57. 已知函数，求上的最大值。
58. 已知函数，在上的最大值为13，求a的值。
59. 已知函数，在上的最小值为1，求a的值。
60. 已知函数，在上的最大值为13，求a的值。
61. 已知函数，在上的值域。
62. 已知函数，在上的最小值为6，求a的值。
63. 已知函数，求在上的最小值。
64．已知，在区间上的最大值为，求的最小值。

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