周末培优5--第五周-闭区间上二次函数最值问题.docx

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第五周　闭区间上二次函数最值问题
重点知识梳理
1．求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
2．解题流程：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，先将f(x)配方，得顶点为，对称轴为x＝－，再结合开口方向和函数图象，数形结合得出f(x)的最值：
当a>0时，f(x)的图象开口方向向上，
(1)当－∈时，f(x)的最小值是f＝，f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者．且哪个端点离对称轴远就在哪个端点取最大值．
(2)当－∉时，若－<m，由f(x)在上是增函数，得f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n<－，由f(x)在上是减函数，得f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)．
当a<0时，可类比得结论．
3．分类讨论的标准
(1)分类要做到不重不漏；
(2)分类的标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
典型例题剖析
例1　求函数f(x)＝x2＋x＋1在区间上的最值．
【解析】将二次函数配方得f(x)＝2＋，其对称轴方程x＝－，顶点坐标，且图象开口向上．显然其顶点横坐标不在区间内，如图所示．

∴函数f(x)的最小值为f(0)＝1，最大值为f＝.
变式训练　函数y＝－x2＋4x－2在区间[0,3]上的最大值是________，最小值是________．
【答案】2　－2
【解析】函数y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2是定义在区间[0,3]上的二次函数，其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为(2,2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0,3]上，如图所示．

∴函数的最大值为f(2)＝2，最小值为f(0)＝－2.
例2　设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，则函数的最小值g(a)＝________.
【答案】
【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，
当－2<a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；
当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
综上，g(a)＝
变式训练　如果函数f(x)＝(x－1)2＋1定义在区间上，求f(x)的最小值．
【解析】函数f(x)＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1,1)，图象开口向上．
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧，有1<t，此时，当x＝t时，函数有最小值f(x)min＝f(t)＝(t－1)2＋1.

图1

如图2所示，若顶点横坐标在区间内，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数有最小值f(x)min＝f(1)＝1.

图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数有最小值f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋1.

图3
综上，f(x)min＝.
【思考】为什么最值讨论时，有时分两种情况讨论，有时分三种情况讨论？
【提示】这是因为二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到，而且二次函数的单调性又与函数图象开口方向有关，因此究竟分两种还是分三种情况讨论，取决于两点：一是开口方向是向上还是向下，二是所求最值是函数的最大值还是最小值．
若二次函数开口向上，如果讨论的是最小值，由于在闭区间上它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；如果讨论的是最大值，由于它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，因此就根据对称轴与左右端点的远近分两种情况讨论．
当函数开口方向向下时，可类比进行讨论．
例3　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．当a＝－2时，求f(x)的最值．
【解析】当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．
所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
变式训练　已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．
【答案】2或－1
【解析】f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
当a>1时，ymax＝a；
当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；
当a＜0时，ymax＝1－a.
根据已知条件或或
解得a＝2或a＝－1.
跟踪训练
1．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则y＝f(x)的最大值为(　　)
A. B．1 C. D．2
2．函数f(x)＝的最大值是(　　)
A. B. C. D.
3．已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)
A. B. C. D.
4．函数f(x)＝x2－4x－6的定义域为[0，m]，值域为[－10，－6]，则m的取值范围是(　　)
A．[0,4] B．[2,4]
C．[2,6] D．[4,6]
5．已知函数y＝x2＋x＋(0≤x≤6)，则当x＝______时，y有最大值________；当x＝________时，y有最小值________．
6．函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0,2]的值域为________．
7．已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1,3]，则b－a的取值范围是________．
8．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
9．函数y＝2x－1－的最大值为________．
10．已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．

11．函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．
(1)试写出g(t)的函数表达式；
(2)求g(t)的最小值．

12．已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值．

13．函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1,1]上最小值记为g(a)．
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)求g(a)的最大值．

参考答案
1．A　∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，
∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称，
即a－1＝－2a.
∴a＝.
∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，
即f(－x)＝f(x)，∴b＝0.
∴f(x)＝x2＋1，x∈[－，]，
y＝f(x)的最大值为，选A.
2．D　∵f(x)＝，
∴当x＝时，f(x)有最大值.
3．C　由，得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，
y2＝4＋2·＝4＋2，
当x＝－1时，y取得最大值M＝2；
当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，
∴＝.
4．B　函数f(x)＝x2－4x－6的图象是开口朝上，且以直线x＝2为对称轴的抛物线，
故f(0)＝f(4)＝－6，f(2)＝－10.
∵函数f(x)＝x2－4x－6的定义域为[0，m]，值域为[－10，－6]，
∴2≤m≤4，
即m的取值范围是[2,4]，
故选B.
5．6　　0　.
解析　y＝x2＋x＋＝(x＋1)2,0≤x≤6
∴对称轴为x＝－1，函数在[0,6]上单调递增，
∴x＝0时，y取最小值，x＝6时，y取最大值，
故答案为6　　0　.
6．[－3,5]
解析　由f(x)＝(x＋1)2－4，知f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3,5]．
7．[2,4]
解析　f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1,3]，所以当a＝－1时，1≤b≤3；当b＝3时，－1≤a≤1，所以b－a∈[2,4]．
8．(1，)
解析　如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，
观图可知，a的取值必须满足，
解得1<a<.
故答案为(1，)．

9.
解析　方法一：令t＝(t≥0)，则x＝.
所以y＝－1－t＝－－t＋＝－(t＋1)2＋6.
因为t≥0，所以y＝－(t＋1)2＋6在[0，＋∞)上为减函数，所以当t＝0时，y有最大值.
方法二：函数的定义域为(－∞，]．
因为f(x)＝2x－1在(－∞，]上单调递增，
g(x)＝在(－∞，]上单调递减，
所以y＝2x－1－在(－∞，]上为增函数．
所以当x＝时，y有最大值.
10．解析　设二次函数表达式为f(x)＝ax2＋bx＋c，
由已知可得，f(0)＝c＝1，
f(x＋1)－f(x)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)
＝2ax＋a＋b＝2x，
则，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
则当x∈[－1,1]时，
f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f＝.
11．解析　(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
从而g(t)＝
(2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为－8.

12．解析　∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
②当≤1<t＋2，即－1<t≤0时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
③当t≤1<，即0<t≤1，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当1<t，即t>1时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝，φ(t)＝.
13．解析　(1)①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x＝<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a＋5；②当－2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x＝∈[－1,1]，则g(a)＝f()＝3－；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x＝>1，
则g(a)＝f(1)＝5－2a.
综上所述，g(a)＝
(2)①当a<－2时，g(a)<1；
②当－2≤a≤2时，g(a)∈[1,3]；
③当a>2时，g(a)<1.
由①②③可得g(a)max＝3.

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