周末培优5--第五周-闭区间上二次函数最值问题.docx

淘出优秀的你 第五周闭区间上二次函数最值问题重点知识梳理1求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论2解题流程：设f(x)ax2bxc(a0)，先将f(x)配方，得顶点为，对称轴为x，再结合开口方向和函数图象，数形结合得出f(x)的最值：当a0时，f(x)的图象开口方向向上，(1)当时，f(x)的最小值是f，f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者且哪个端点离对称轴远就在哪个端点取最大值(2)当时，若m，由f(x)在上是增函数，得f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n，由f(x)在上是减函数，得f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)当a0时，可类比得结论3分类讨论的标准(1)分类要做到不重不漏；(2)分类的标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论典型例题剖析例1求函数f(x)x2x1在区间上的最值【解析】将二次函数配方得f(x)2，其对称轴方程x，顶点坐标，且图象开口向上显然其顶点横坐标不在区间内，如图所示函数f(x)的最小值为f(0)1，最大值为f.变式训练函数yx24x2在区间0,3上的最大值是_，最小值是_【答案】22【解析】函数yx24x2(x2)22是定义在区间0,3上的二次函数，其对称轴方程是x2，顶点坐标为(2,2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0,3上，如图所示函数的最大值为f(2)2，最小值为f(0)2.例2设函数yx22x，x2，a，则函数的最小值g(a)_.【答案】【解析】函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，当2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.综上，g(a)变式训练如果函数f(x)(x1)21定义在区间上，求f(x)的最小值【解析】函数f(x)(x1)21，其对称轴方程为x1，顶点坐标为(1,1)，图象开口向上如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧，有1t，此时，当xt时，函数有最小值f(x)minf(t)(t1)21.图1如图2所示，若顶点横坐标在区间内，有t1t1，即0t1.当x1时，函数有最小值f(x)minf(1)1.图2如图3所示，若顶点横坐标在区间t，t1右侧，有t11，即t1时，ymaxa；当0a1时，ymaxa2a1；当a0时，ymax1a.根据已知条件或或解得a2或a1.跟踪训练1已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则yf(x)的最大值为()A. B1 C. D22函数f(x)的最大值是()A. B. C. D.3已知函数y的最大值为M，最小值为m，则的值为()A. B. C. D.4函数f(x)x24x6的定义域为0，m，值域为10，6，则m的取值范围是()A0,4 B2,4C2,6 D4,65已知函数yx2x(0x6)，则当x_时，y有最大值_；当x_时，y有最小值_6函数f(x)x22x3，x0,2的值域为_7已知函数f(x)x22x，xa，b的值域为1,3，则ba的取值范围是_8直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_9函数y2x1的最大值为_10已知二次函数f(x)满足条件f(0)1和f(x1)f(x)2x.(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间1,1上的最大值和最小值11函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t)(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)求g(t)的最小值12已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值13函数f(x)2x22ax3在区间1,1上最小值记为g(a)(1)求g(a)的函数表达式；(2)求g(a)的最大值参考答案1Af(x)ax2bx3ab是偶函数，其定义域a1,2a关于原点对称，即a12a.a.f(x)ax2bx3ab是偶函数，即f(x)f(x)，b0.f(x)x21，x，yf(x)的最大值为，选A.2Df(x)，当x时，f(x)有最大值.3C由，得函数的定义域是x|3x1，y24242，当x1时，y取得最大值M2；当x3或1时，y取得最小值m2，.4B函数f(x)x24x6的图象是开口朝上，且以直线x2为对称轴的抛物线，故f(0)f(4)6，f(2)10.函数f(x)x24x6的定义域为0，m，值域为10，6，2m4，即m的取值范围是2,4，故选B.560.解析yx2x(x1)2,0x6对称轴为x1，函数在0,6上单调递增，x0时，y取最小值，x6时，y取最大值，故答案为60.63,5解析由f(x)(x1)24，知f(x)在0,2上单调递增，所以f(x)的值域是3,572,4解析f(x)x22x(x1)21，因为xa，b的值域为1,3，所以当a1时，1b3；当b3时，1a1，所以ba2,48(1，)解析如图，在同一直角坐标系内画出直线y1与曲线yx2|x|a，观图可知，a的取值必须满足，解得1a2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12，即t1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.从而g(t)(2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为8.12解析对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.当t1，即0t1，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为(t)，则有g(t)，(t).13解析(1)当a2时，函数f(x)的对称轴x2时，函数f(x)的对称轴x1，则g(a)f(1)52a.综上所述，g(a)(2)当a2时，g(a)2时，g(a)1.由可得g(a)max3.9