四元数与三维空间中的转动.pdf

第52 卷第3期2023年6 月D0I:10.3969/J.ISSN.1000-5137.2023.03.013上海师范大学学报（自然科学版）Journal of Shanghai Normal University(Natural Sciences)四元数与三维空间中的转动Vol.52,No.3Jun.,2 0 2 3涂泓，冯承天（上海师范大学数理学院，上海2 0 0 2 34）摘要：由SU(2)群引入四元数，并详细和严格地讨论了四元数的各种特性；讨论得出了诸如SU(2)群与SO(3)群的2-1对应；给出了单位四元数的转轴和转角；自然地导出了表征无穷小转动的角位移等，关键词：四元数；SU(2)与SO(3)的2-1对应；单位四元数与空间转动；有限转动的合成；角位移中图分类号：0 411.1文献标志码：A文章编号：10 0 0-5137(2 0 2 3)0 3-0 37 2-0 7Quaternion and rotation in three dimensionsTU Hong,FENG Chengtian(Mathematics and Science College,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)Abstract:The quaternion was introduced via the special unitary group in two dimensions and its properties were discussedsystematically and rigorously.Some important results were educed such as the homomorphism of SU(2)onto SO(3).Besides,the axis and the angle of the rotation were given by a quaternion,and the angular displacement of an infinitesimal rotation wasderived smoothly.Key words:quaternion;2-1 correspondence of SU(2)and SO(3);unit quaternion and rotation in space;combination of finiterotation;angular displacement0引言1从SU(2)群到单位四元数()B设h=表示：eSU(2）,则从h-l=hT,以及用伴随矩阵得出h-的方法，容易推得h的Cayley-Klein参数h=+=1,eC.(1)收稿日期：2 0 2 2-0 6-2 2作者简介：涂泓（197 6 一），女，副教授，主要从事数理理论方面的研究.E-mail：t u h o n g s h n u.e d u.c n引用格式：涂泓，冯承天.四元数与三维空间中的转动J.上海师范大学学报（自然科学版），2 0 2 3，52（3）：37 2-37 8.Citation format:TU H,FENG C T.Quaternion and rotation in three dimensions J.Journal of Shanghai NormalUniversity(Natural Sciences),2023,52(3):372-378.第3期令=x一x,i,=-x,-xi,则有这样就得出了h的单位四元数表示，其中基元1=0100一010满足-10i=ij=kk=E（0-1ij=-ji=h，j k=-k j=i，k i=-i k=j.2?复数域、三元数和四元数对于任意复数zeC,有z=a+ib,a,beIR.因此，复数是二元数.z也可用三角形式和指数形式分别表示为：(4)其中，r,分别为z的模与幅角.从ze-rei(),得到以下结论：将单位复数e去乘z，就相当于将z在复平面上逆时针转动了角.那么，在复数的基元1，i的基础上，再引人一个新基元j,从而构成三元数x=xg+x,i+x2j,xo,x,xz=R，能否实现在三维空间上的转动呢？对于新基元j，由乘法的封闭性，应有(6)如果三元数系的乘法要满足结合律，以及乘法对加法的分配率,那么从(i)=认i),就有：-j=i(a+bi+cj)=ai-b+c(a+bi+cj),这表明jeC,这就矛盾了.因此一个具有很好乘法性质的三元数系是不存在的.爱尔兰数学家哈密顿因此提出了四元数系：而对于其中的h,=xg+x,i+xaj+x,k,h,=y+yji+yai+y,h,定义它们的相加和与实数的相乘如下：容易验证此时H是R上的一个四维向量空间,而xo=x,=x,=x,=0给出了加法的零元,-h=-o-,i-2j-x,k是h=xo1+x,i+x2j+xk的负元.3四元数的乘法及其性质对于上述的h,h,按此时的乘法满足分配率,则有hh,=(ao+xi+x2j+x,k)vo+yity,j+y,k)=(x00-xi1-x22-x3s)+(oyi+xiyo+x2y-x3 y2)i+(oy,+x2yo+xsy1-xiys)+(xoy,+xsyo+xiy2-x2y1)k,其中用到了式（3).利用式（10），经过一些代数运算，能证明四元数的这一乘法满足结合律.涂泓，冯承天：四元数与三维空间中的转动-(x0-x;i-x2-xi)0h=xo(x2-x,iXo+x,i01=xol+xii+X2j+x,k,det h=x+xi+x2+x;=1.10=E，是乘法的单位元，而00iz=r(cos p+i sin g)=re,ij=a+bitcj.H=1x=xo+xi+xj+x,h,Xo,X1,X2,xER/.h,+h,=(xo+yo)+(x,ty1)i+(x2+y2)j+(x,+y,)k,ah,=axo+axitax,j+ax,aeR.373一1-1+x+x20-i0+300(2)(3)(5)(7)(8)(9)(10)374对h=xo+x,i+xj+x,定义它的共轭元h=x-x,i-xj-,h,那么有若o,x，x 2，x,不全为零，即h不是零元，那么它就有乘法逆元：det h对于共轭运算有h,+h,=h,+h2.再从(h,h2)(h,h2)=det(h,h2)E,=(det hi)(det h2)E2=(h,h,)(hzh2)E,=h,h,h,h,E2,就有h,h,=h,h.再者,从h,h,=H-O,即det h,0,deth,0,有det(h,h,)+0.因此有h,hzH-O.这些就表明H-0在乘法下构成一个非交换群,称为四元数乘群（SU(2)显然是它的一个子群）.综上所述,H除了乘法不具有可交换性以外，满足域的所有其他条件：H是R上的一个可除代数.4实四元数和纯四元数如果h的x,=x,=x;=0,则称h为一个实四元数.它与任意四元数在相乘时都可交换.反过来,若h与H中任意元相乘时都可交换,那么它就与i和j可交换.由此，分别可得出x,=x,=0,x;=,=0.这样,就得出了结论：非零实四元数构成了H-10的中心。如果h的x=0,则称h为一个纯四元数.尽管不同的i,j,k之间的乘法是反交换的，但纯四元数之间的相乘一般不是反交换的.若纯四元数h=xi+xj+x,的xi,2，x,不全为零,则根据前述有(13)+纯四元数的全体S显然是H的一个子空间.构造S到R3的下列映射m:Sh=x,i+x2j+x,k,不难得出m是一个双射，且保持加法与数乘这两种线性运算.若hi，h,都是纯四元数时，式（10)变化为：hh,=-(xy+xy2+xys)E,+(xys-xy2)i+(x,1-xy,)j+(xy2-xy)h.因此对纯四元数h,hz,分别定义它们的内积与外积如下：h,hz=m-l(m(hi)m(h)=m(hi h,).于是式(15就可表示为：h,h,=h,Xh,-h,o h,E,.利用矢量代数中的有关性质能得出一些重要的关系.例如，当且仅当h，工h,时,h。h,=0.由此推出，h,o(h,xh,)=0.5单位四元数当deth=1,即hh=1时，称h为一个单位四元数.数1,i，t j,h 都是单位四元数，对于任意不为零的四元数h,都可以将它归一化,即q=设是一个单位四元数，那么有q=q.此时若令=cos2则xi+x2+xi=sin?sin+0，而有2上海师范大学学报（自然科学版）J.ShanghaiNormalUniv.（Na t.Sc i.）22023年hh=(x+xi+x2+x:)E,=(det h)E2.(11)h=(12)-hh=-h,h-l=m(h)=h=x,i+x,j+x,k.h,o h,=m(h)m(hz)=h,.h,土h是一个单位四元数.Vdeth(14)(15)(16)(17)FCOS2#1时，第3期涂泓，冯承天：四元数与三维空间中的转动375q=cosE,+sin22其中，1u=(x,i+x.j+x,k)=cosi+cosj+cosk.sin2而cos+cos+cosy=1,即纯四元数u也是一个单位四元数.尽管式（18)是在cos号*1的条件下得出的，但在xo=cos号=1时也成2再设u是一个满足xou=0的纯四元数，那么由xxu=-uxx，则由式(17)可得：xu=xxu=-ux=ux,即uxu=x.6零迹厄米矩阵为了给出四元数乘群H-O的表示空间,对x,y,zeR构造：x-yiP=x0,+yo,+z0,=(x+yi其中，010为泡利自旋矩阵.它们都是零迹厄米的,因而P也是零迹厄米的.记H=(Pegl(2,C)ItrP=0,PT=P,则H在矩阵的相加，以及矩阵在与实数r的相乘运算下封闭.因此,H构成R上的一个向量空间.注意到泡利自旋矩阵与前面定义的四元数基元i,k的关联,有由于i是虚数单位,所以1,2,3,P都不是四元数.于是当要用到前面对四元数定义的那些运算和导出的性质时，将按式(2 4)所示的模式P=ip将零迹厄米矩阵P乘以-i变为四元数p=-iP,才能进行.7变换 PhPh-1对于heH-10,定义下列映射由于trP=trP=0,(P)T=(hPh-)T=(h-)TPT(h)T=hPh-=P,因此PeH,所以这个映射是有意义的.同时也不难证明由h给出的h是一个双射，且保持乘法运算不变，即hh,h一h,有hhhh.这样，上述做法就给出了四元数乘群在H上的一个表示.由PeH,就可将P表示为：ZPx+yi于是由非零四元数h给出的P=hPh就诱导出（x，z)与（x，z )之间的以下线性变换：(18)(19)(20)2202Z0-i,03=（i0,=i,O,=ij,O,=ik.h:HP(21)(22)10-1H,h(P)=P=hPh-l,Z=h(x+yi一Z(23)(24)(25)(26)376上海师范大学学报（自然科学版）J.ShanghaiNormalUniv.（Na t.Sc i.）2023年xFR(h)Z(27)8变换PP=hPh-的正交性与缩小由detP=det(hPh-)=det P,可得:于是从可推知：即R(h)eO(3).再从h=E,给出P=P,因此,R(E,)=E.又从h一R(h)是连续的，就有结论：对所有heH-(0,det R(h)=1,即R(h)eSO(3).对h,gH-O/，有h,g存在.若它们对所有的P都有hPh=gPg,那么令p=-iP,则peH,且hph-=gpg.由此得出对于任意p都有ghp=pgh.根据前述，由此就能推出h=ag，a e R.这样，为了得到所有的R(h），只要把heH-O缩小在所有的单位四元数上，即子群SU(2)上就足够了.如果满足h=ag的h，g 还都是单位四元数，那么a=1.因此h=g.由此得出了一个重要结论：当且仅当h=g时,R(h)=R(g）,即上述SU(2)到SO(3)上的映射hR(h)是二对一的.这一事实正反映了SU(2)是SO(3)的覆盖群9单位四元数q给出的转动R(q)的转轴针对这里的u,定义P=iu,则P=,cos+2cos+,cos.那么从uq=qu,就有P=q(iu)q=iu=P,即x=x=cos,y=y=cos,z=z=cos.这表明矢量=cosi+cosj+cosk在R(q)下不变，即矢量给出了转动R(q)的转轴.10 R(q)的转角为0对于,在R3中存在垂直于的单位矢量，记为=,i+v,j+,即有=0.因此,=u,i+,j+u,与u的四元数内积为零，即uou=0.接下来，构造V=iu=,+,+,并对它进行V=iu=qq=()q变换.从=,+,+,，得出u=quq=vli+v2j+vsk,以及=uli+uj+k.首先从为单位矢量，可知也为单位矢量.其次再计算V=qVq=q(iw)q=i(E,cosE2cos22其中用到了uwu=,vu=一w,以及由uov=0得出的vu=uxu.于是式(30)给出quq=u=vcos+usin Qxv.依此，有这表明了让立因此立和构成了垂直于讠的平面.最后从得出了与的夹角的余弦为cos,即是由绕转动而得出的.(x)+(y)+(z)=x+y+2,(xyz)(xyz)T=(xyz)R(h)R(h)(xyz)TR(h)R(h)=E,+usinuov=u o(qvq)=uo(vcos O+usin xv)=0,.=v o=v (qvq)=v o(vcos+usin xv)=cos,(28)(29)0usin22-usin=i(vcos+usinxv),2(30)第3期涂泓，冯承天：四元数与三维空间中的转动37711例子：绕z轴的转动R(0)z轴由cos=cos=0,cos=1给出,于是有q=E,cos2COs02020cos2而11.1对z轴上矢量(0,0,z)的转动0此时的P为则有：P=qP0Z-+usin2sin 0-1010q:PP=qPq.0102e00而u=k.由此可得：0-i0e20COSsin02e2e(31)202e0一1e0e(32)把此式与7X不变.这与z轴为转轴这一事实一致.11.2对x轴上矢量(x,0,0)的转动0X此时的P为则有：X0Z把这一表达式与X11.3对y轴上矢量(0,J,0)的转动0-iy此时的P为则有：002eP=y0e因而有x=-y sin 0,y=y cos 0,z=z=0.综合式(32)，（34)，（36),最后有：XJ=R.(0)类似地,可以得出R(),R()的表达式.相比，可得出x=x=0,y=y=0,z=z,由此可知矢量(0,0，z)在绕z轴的转动下(33)D0相比较,有：x=x cos 0,y=x sin 0,z=z=0.00-i20e1020cos 0-sin 0,R,(0)=sin Gcos 000e0e2e0e0-ie-i0)=y(ieio001/0evio)=Xio0(34)(35)(36)(37)378上海师范大学学报（自然科学版）J.ShanghaiNormalUniv.（Na t.Sc i.）2023年12两个转动的合成计算由转轴和转角分别为（cosm，c o s m，c o s m）和e的两个转动qm（m=1,2)的合成，只要计算qi92,其中qm=E,cos+unsin22mjcos+kcos的形式,便能得出合成转动的转轴(cos,cos,cos)和转角p.例如,要求出先绕轴转动90，再绕x轴转动90 这两个转动的合成，只要看作下列计算：因此得出了转轴方向余弦为当给定转角为dm，m=12 的两个无穷小转动时，从q192=(E,+de,(icos a,tjcos,+hcos,)=(E,+do,(icos a,tjcos,+kcos 2)=E,+de,(icos,+jcos+kcos)+de,(icos,+jcos,+kcos 2)就引出了角位移的定义，并得出了结论：无穷小转动qm由角位移dom（i c o s m+jcosm+hcosm），m=1,2 表征，而它们的合成由它们的矢量和所表征.由此得出无穷小转动是矢量。2,u,=icos%+j cosB.+hcosm,并将此时的乘积表为q=E,cos2(E,-io,).(E,-io,)cos 60-i sin 60V2V2usin2.u=icos+转角为12 0 的合成转动.(38)参考文献：1TRAINER E H L,WISE B M.From Physical Concept to Mathematical Structure:An Introduction to Theoretical Physics M.Toronto:University of Toronto Press,1981.2MILLER W,Jr.Symmetry Groups and Their Applications MJ.San Diego:Academic Press,1972.3STILLWELL J.Yearning for the Impossible:The Surprising Truths of Mathematics M.Natick:A K Peters/CRC Press,2006.4STIPP 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