第一讲 空间几何体.doc

专题三 立 体 几 何第一讲 空间几何体规律与方法一、三视图与组合体1.关于三视图的应用，要善于观察，善于想象，三视图之间联系的规律是：正俯长对正，正侧高平齐，府侧宽相等。2.应熟悉旋转体的侧面展开图和轴截面（过旋转轴的截面）的形状。3.要特别关注三棱锥体积的计算方法，注意灵活选择底面。4.有关球的组合体问题，作图是难点，此时可不作球的直观图.分析要注意定位、定量：球的位置由球心确定，球的大小由半径确定，还要注意有关（特别是球心及接点、切点）截面图形的特点.二、求空间距离和空间角的方法1.距离问题（1）点面距直接作出（用面面垂直的性质）体积方法；转移法：（如图甲）；（如图乙）.（2）线面距、面面距线面距、面面距转化为点面距来求解.2.空间角的求法（1）线线角问题：平移法（有时需要移到几何体外，即“补体”）（2）线面角问题如图：，故线面有问题就是点到平面距离问题，即线面角问题点面距问题，可以用求点面距的方法求线面角.（3）二面角问题定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半面内作棱垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特征.射影法：利用面积射影公式，其中为原斜面图形面积，为该图形的射面积，为平面角的大小，此方法的优点是不必在图中作（找）出平面角.三、平行关系的转化两平面平行问题常常转化为直线与平面平行，而直线与平面平行又转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图.四、垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，垂直关系的转化示意图如下 .线线直直线面垂直面面垂直类型1 空间几何体的结构例1 下列结论不正确的是_（填序号）.各个面都是三角形的几何体是三棱锥以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线变式训练1 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰围四棱锥”，四条侧棱称为它的腰.以下四个命题中为真命题的是_（填序号） 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上类型2 三视图和直观图 例 2 某空间几何体的三视如图所示，则该几何体的体积是_.分析 由所给的三视图，得到对应的几何体模型，再计算几何体的体积.变式训练2 一个正三棱住的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积. 例3 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段.在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（ ） A. B. C.4 D. 变式训练3 已知的直观图是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.类型3 空间几何体的基本量例 4 正四棱台的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16 cm，求这个棱台的侧长和斜高.变式训练4 圆台的一个底面周长是一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.类型4 空间几何体的表面积与体积例 5 将一个正方体截取四个角后，得到一个四面体，则这个四面体的体积是原正方体体积的_.变式训练5 如图所示，在直角梯形中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形沿CD折起，使平面平面.连接部分线段后围成一个空间几何体，如图所示.（1）求证：平面；（2）求三棱维的体积. 类型5 多面体与旋转体的“切”、“接”例 6 在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱AB和的中点，则线段EF被正方体的内切球球面截在球内的线段长为_.变式训练6 (1) 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为_.(2)已知正三棱锥S-ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图，则此三棱锥的侧面积为_.类型6 空间几何体的展开、折叠问题例 7 如图1，矩形ABCD中，沿对角线，AC把矩形折成二面角（如图2），并且D点在平面ABC内的射影恰好落在AB上.（1）求证：平面DBC；（2）求二面角的正弦值.变式训练7 已知四边形ABCD是等腰梯形，如图所示，现将沿折起，使得，连结AC，AB，设M是AB的中点.（1）求证：平面AEC；（2）判断直线EM是否平行平面ACD，并说明理由. 类型七 立体几何中的轨迹问题例 8 （1）如图，正方体中，P为平面内一动点，且点P到和的距离相等，则P的轨迹是下图中的（ ）（2）如图，四棱锥的氏面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面ABCD，点M在底面内运动，且满足，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）变式训练8 （1）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M在棱上运动，点N在正方形ABCD内运动，则MN中点P的轨迹面积是（ ） A. B. C. D. （2）若正四面体S-ABC的底面内有一动点P分别到平面SAB，平面SBC，平面SAC的距离成等差数列，则点P的轨迹是（ ）A. 一条线段 B.一个点 C.一段圆弧 D.抛物线的一段711一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面体积为（） A. 解：由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱（正方体削去两个三棱柱）。底面等采梯形上的底为，下底为，高为，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为故选12在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）解：由主视图和俯视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥组成的组合体，所以，俯视图是，侧视图是，故选13几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）解：只有B符合题意，故选B.18一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .解：由三视图可知，该几何体由一个正四棱锥（底面边长为2，高为1）和一个长方体（长、宽、高分别为2，1，1）组合而成，所以其体积.故填.19.如图，在正方体中，分别是的中点，是正方形的中心，则四边形在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的 .解：在面和面上的投影是（1）；在面和上的投影是（2）；在面和面上的投影是（3），故填（1）（21）（3）.