第一讲 空间几何体.doc

专题三 立 体 几 何
第一讲 空间几何体
规律与方法
一、三视图与组合体
1.关于三视图的应用，要善于观察，善于想象，三视图之间联系的规律是：正俯长对正，正侧高平齐，府侧宽相等。
2.应熟悉旋转体的侧面展开图和轴截面（过旋转轴的截面）的形状。
3.要特别关注三棱锥体积的计算方法，注意灵活选择底面。
4.有关球的组合体问题，作图是难点，此时可不作球的直观图.分析要注意定位、定量：球的位置由球心确定，球的大小由半径确定，还要注意有关（特别是球心及接点、切点）截面图形的特点.
二、求空间距离和空间角的方法
1.距离问题
（1）点面距
①直接作出（用面面垂直的性质）
②体积方法；
③转移法：（如图甲）；（如图乙）.
（2）线面距、面面距
线面距、面面距转化为点面距来求解.
※2.空间角的求法
（1）线线角问题：平移法（有时需要移到几何体外，即“补体”）
（2）线面角问题
如图：，故线面有问题就是点到平面距离问题，即线面角问题点面距问题，可以用求点面距的方法求线面角.
（3）二面角问题
①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半面内作棱垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特征.
②射影法：利用面积射影公式，其中为原斜面图形面积，为该图形的射面积，为平面角的大小，此方法的优点是不必在图中作（找）出平面角.

三、平行关系的转化
两平面平行问题常常转化为直线与平面平行，而直线与平面平行又转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图.

四、垂直关系的转化
与平行关系之间的转化类似，垂直关系的转化示意图如下 .
线线
直直
线面
垂直
面面
垂直

类型1 空间几何体的结构
例1 下列结论不正确的是___________（填序号）.
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
变式训练1 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰围四棱锥”，四条侧棱称为它的腰.以下四个命题中为真命题的是_________（填序号）
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

类型2 三视图和直观图
例 2 某空间几何体的三视如图所示，则该几何体的体积是__________.
分析 由所给的三视图，得到对应的几何体模型，再计算几何体的体积.

变式训练2 一个正三棱住的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.

例3 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段.在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（ ）
A. B. C.4 D.
变式训练3 已知的直观图是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.

类型3 空间几何体的基本量
例 4 正四棱台的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16 cm，求这个棱台的侧长和斜高

变式训练4 圆台的一个底面周长是一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.

类型4 空间几何体的表面积与体积
例 5 将一个正方体截取四个角后，得到一个四面体，则这个四面体的体积是原正方体体积的
______.
变式训练5 如图所示，在直角梯形中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形沿CD折起，使平面平面.连接部分线段后围成一个空间几何体，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求三棱维的体积.

类型5 多面体与旋转体的“切接”
例 6 在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱AB和的中点，则线段EF被正方体的内切球球面截在球内的线段长为_____________.

变式训练6
(1) 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为______________.

(2)已知正三棱锥S-ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图，则此三棱锥的侧面积为_________.

类型6 空间几何体的展开、折叠问题
例 7 如图1，矩形ABCD中，，沿对角线，AC把矩形折成二面角（如图2），并且D点在平面ABC内的射影恰好落在AB上.
（1）求证：平面DBC；
（2）求二面角的正弦值.

变式训练7 已知四边形ABCD是等腰梯形，，如图所示，现将沿折起，使得，连结AC，AB，设M是AB的中点.
（1）求证：平面AEC；
（2）判断直线EM是否平行平面ACD，并说明理由.

类型七 立体几何中的轨迹问题
例 8 （1）如图，正方体中，P为平面内一动点，且点P到和的距离相等，则P的轨迹是下图中的（ ）

（2）如图四棱锥的氏面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面ABCD，点M在底面内运动，且满足，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）

变式训练8 （1）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M在棱上运动，点N在正方形ABCD内运动，则MN中点P的轨迹面积是（ ）
A. B. C. D.

（2）若正四面体S-ABC的底面内有一动点P分别到平面SAB，平面SBC，平面SAC的距离成等差数列，则点P的轨迹是（ ）
A. 一条线段 B.一个点 C.一段圆弧 D.抛物线的一段

7

11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面体积为（　）
A. ４８　　 Ｂ．　　
Ｃ．　 Ｄ．８０

解：由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱（正方体削去两个三棱柱）。底面等采梯形上的底为２，下底为４，高为４，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为．故
选Ｃ．

12．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的
侧视图可以为（　　）
解：由主视图和俯视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥组成的组合体，所以，俯视图是Ｄ，侧视图是Ｄ，故选Ｄ．

13．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）

解：只有B符合题意，故选B.
18．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .

解：由三视图可知，该几何体由一个正四棱锥（底面边长为2，高为1）和一个长方体（长、宽、高分别为2，1，1）组合而成，所以其体积.故填.

19.如图，在正方体中，分别是的中点，是正方形的中心，则四边形在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的 .

解：在面和面上的投影是（1）；在面和上的投影是（2）；在面和面上的投影是（3），故填（1）（21）（3）.