2017-2018学年九年级(上)期中数学试卷.doc

2017-2018学年九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共12个小题．在每题所列四个选项中，只有一个符合题意，把符合题意的选项所对应的字母代号写在答题纸中各题对应的方格里）．
1．（3分）下列方程，是一元二次方程的是（　　）
①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2=4，④x2=0，⑤x2﹣3x﹣4=0．
A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
2．（3分）如图，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若m是方程x2+x﹣1=0的根，则2m2+2m+2016的值为（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
4．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）我省2014年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2016年的快递业务量达到4.5亿件．设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（　　）

A．4 B．6 C．3 D．3
7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（　　）

A．40° B．30° C．45° D．50°
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
9．（3分）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4
10．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3
11．（3分）如图，⊙O的直径BD=6，∠A=60°，则BC的长度为（　　）

A． B．3 C．3 D．4
12．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（　　）

A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④

二、填空题（本题共6个小题．请把最终结果填写在答题纸中各题对应的横线上）．
13．（3分）抛物线y=（x+1）2﹣2的顶点坐标是　　．
14．（3分）将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为　　．
15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是　　．
16．（3分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=2，求BB′的长为　　．

17．（3分）如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是　　．

18．（3分）若规定两数a、b通过运算※得4ab，即a※b=4ab．如2※6=4×2×6=48．若x※x+2※x﹣2※4=0，则x的值为　　．

三、解答题（本题共7个小题．请在答题纸中各题对应的空间写出必要的过程）．
19．（8分）（1）用公式法解方程x2﹣3x﹣7=0．
（2）解方程：4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）
20．（6分）如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形；
（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．

21．（8分）如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
（2）在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否AC的中点？为什么？

22．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3，求实数m的值．
23．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C是的中点，∠COB=60°，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．

24．（10分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

25．（12分）2016年3月国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润W最大，最大利润是多少？

2017-2018学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12个小题．在每题所列四个选项中，只有一个符合题意，把符合题意的选项所对应的字母代号写在答题纸中各题对应的方格里）．
1．（3分）（2016秋•滨州期中）下列方程，是一元二次方程的是（　　）
①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2=4，④x2=0，⑤x2﹣3x﹣4=0．
A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：①该方程符合一元二次方程的定义．故①是一元二次方程；
②该方程中含有2个未知数．故②不是一元二次方程；
③该方程是分式方程．故③不是一元二次方程；
④该方程符合一元二次方程的定义．故④是一元二次方程；
⑤该方程符合一元二次方程的定义．故⑤是一元二次方程；
综上所述，是一元二次方程的是①④⑤．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．（3分）（2009•庆阳）如图，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．
【解答】解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，可知A、B、C是中心对称图形；D不是中心对称图形．
故选D．
【点评】掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．（3分）（2016秋•滨州期中）若m是方程x2+x﹣1=0的根，则2m2+2m+2016的值为（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程，即可求得（m2+m）的值，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：依题意得：m2+m﹣1=0，
则m2+m=1，
所以2m2+2m+2016=2（m2+m）+2016=2×1+2016=2018．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

4．（3分）（2016•舟山）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

5．（3分）（2016秋•滨州期中）我省2014年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2016年的快递业务量达到4.5亿件．设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
【分析】根据题意可得等量关系：2014年的快递业务量×（1+增长率）2=2016年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.4（1+x）2=4.5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

6．（3分）（2016•抚顺县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（　　）

A．4 B．6 C．3 D．3
【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=4，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=2，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×2=4，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′为等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°﹣30°=30°，
∴B′A=B′C=2，
∴AA′=AB′+A′B′=2+4=6．
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．

7．（3分）（2016•会宁县一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（　　）

A．40° B．30° C．45° D．50°
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．
【解答】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=40°；
∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=100°；
∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．

8．（3分）（2015•梅州）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【解答】解：如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．

9．（3分）（2016•兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4
【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式．
【解答】解：y=x2﹣2x+4配方，得
y=（x﹣1）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的不同表达形式，配方法是解此题关键．

10．（3分）（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．
【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1=y2＞y3，
故选D．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．

11．（3分）（2016•颍泉区一模）如图，⊙O的直径BD=6，∠A=60°，则BC的长度为（　　）

A． B．3 C．3 D．4
【分析】根据圆周角定理求出∠D的度数，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得，∠D=∠A=60°，
则BC=BD×sin∠D=6×=3，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．

12．（3分）（2014•达州）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（　　）

A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；
根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；
如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；
先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．
【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确；
②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；
③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，
∵4＜5，
∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故④正确．
故选：B．
【点评】主要考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．

二、填空题（本题共6个小题．请把最终结果填写在答题纸中各题对应的横线上）．
13．（3分）（2016•徐州模拟）抛物线y=（x+1）2﹣2的顶点坐标是　（﹣1，﹣2）　．
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【解答】解：因为y=（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟知求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法是解答此题的关键

14．（3分）（2016•凉山州）将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为　y=﹣x2+6x﹣11　．
【分析】根据平移规律：上加下减，左加右减写出解析式即可．
【解答】解：抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣2即y=﹣x2+6x﹣11，
故答案为y=﹣x2+6x﹣11．
【点评】本题考查二次函数图象与坐标变换，记住上加下减，左加右减这个规律，属于中考常考题型．

15．（3分）（2016•长春模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是　k＜﹣1　．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，得出△=4+4k＜0，再进行计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）=4+4k＜0，
∴k的取值范围是k＜﹣1；
故答案为：k＜﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

16．（3分）（2016秋•滨州期中）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=2，求BB′的长为　8　．

【分析】根据中心对称图形的定义可得△ABC≌△AB′C′，进而可得AB=AB′，然后利用特殊角的三角函数值可得AB的长，进而可得答案．
【解答】解：∵是一个中心对称图形，A为对称中心，
∴△ABC≌△AB′C′，
∴AB=AB′，
∵∠C=90°，∠B=30°，BC=2，
∴AB=4，
∴AB′=4，
∴BB′=8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

17．（3分）（2016•赤峰）如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是　8cm　．

【分析】根据切线的性质以及垂径定理，在Rt△BOC中利用勾股定理求出BC，即可得出AB的长．
【解答】解：∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，
在Rt△BOC中，∵∠BCO=90°，OB=5，OC=3，
∴BC==4（cm），
∴AB=2BC=8cm．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查切线的性质、垂径定理．勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于基础题中考常考题型．

18．（3分）（2016秋•滨州期中）若规定两数a、b通过运算※得4ab，即a※b=4ab．如2※6=4×2×6=48．若x※x+2※x﹣2※4=0，则x的值为　﹣4或2　．
【分析】根据新定义写出一元二次方程，并用因式分解法求出方程的根．
【解答】解：依题意可以列方程：
4x2+8x﹣32=0，
x2+2x﹣8=0，
（x+4）（x﹣2）=0，
x+4=0或x﹣2=0，
解得x1=﹣4，x2=2．
故答案为：﹣4或2．
【点评】此题考查因式分解来解一元二次方程，以及定义新运算，理解题意，利用运算的方法得出一元二次方程是解决问题的关键．

三、解答题（本题共7个小题．请在答题纸中各题对应的空间写出必要的过程）．
19．（8分）（2016秋•滨州期中）（1）用公式法解方程x2﹣3x﹣7=0．
（2）解方程：4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）
【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣3，c=﹣7．
∴△=9+28=3，
∴x=，
即x1=，x2=．

（2）原方程化简为：（2x﹣1）（4x﹣3）=0，
∴2x﹣1=0或4x﹣3=0，
解得：x1=，x2=．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

20．（6分）（2006•梅州）如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形；
（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．

【分析】（1）将△ABC的三点与点O连线并延长相同长度找对应点，然后顺次连接得中心对称图形△A′B′C′；
（2）将△ABC的三点与点O连线并绕原点O按顺时针方向旋转90°找对应点，然后顺次连接得△A1B1C1．
【解答】解：（1）正确画出图形（3分）
（2）正确画出图形（5分）
A1（﹣1，1）．（6分）

【点评】本题主要考查了中心对称作图及旋转变换作图的能力，注意：做这类题时找对应点是关键．

21．（8分）（2014•雁江区校级模拟）如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
（2）在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否AC的中点？为什么？

【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据线段垂直平分线性质推出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠AEB=90°，根据等腰三角形性质求出即可．
【解答】（1）AB=AC，
证明：连结AD，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵BD=DC，
∴AB=AC；

（2）解：当△ABC为正三角形时，E是AC的中点，
连接BE，
∵AB为直径，
∴∠BEA=90°，
即BE⊥AC，
∵△ABC为正三角形，
∴AE=EC，
即E是AC的中点．
【点评】本题考查了等边三角形性质，圆周角定理，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．

22．（8分）（2016秋•滨州期中）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3，求实数m的值．
【分析】（1）求根的判别式，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把x12+x22=3变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于m的一元二次方程，解方程．
【解答】（1）证明：∵a=1，b=﹣（2m+1），c=m2+m，
∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+m）=1，
∴△＞0，
∴关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0恒有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2 x1x2=（2m+1）2﹣2（m2+m）=2m2+2m+1
∴2m2+2m+1=13
解得：m1=2，m2=﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=

23．（8分）（2016•五华区二模）如图所示，AB是⊙O的直径，点C是的中点，∠COB=60°，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．

【分析】（1）连接OD，可证明△AOD为等边三角形，可得到∠EAO=∠COB，可证明OC∥AE，可证得结论；
（2）利用△OCD和△AOD都是等边三角形可证得结论．
【解答】（1）证明：
连接OD，如图，
∵C是的中点，
∴∠BOC=∠COD=60°，
∴∠AOD=60°，且OA=OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠EAB=∠COB，
∴OC∥AE，
∴∠OCE+∠AEC=180°，
∵CE⊥AE，
∴∠OCE=180°﹣90°=90°，即OC⊥EC，
∵OC为圆的半径，
∴CE为圆的切线；
（2）解：
四边形AOCD是菱形，理由如下：
由（1）可知△AOD和△COD均为等边三角形，
∴AD=AO=OC=CD，
∴四边形AOCD为菱形．

【点评】本题主要考查切线和菱形的判定，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．

24．（10分）（2016•龙东地区）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出一次函数解析式．
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0=1+m，
∴m=﹣1，
∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），
∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标（﹣4，3），
∵y=kx+b经过点A、B，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，
（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．

【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好像解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．

25．（12分）2016年3月国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润W最大，最大利润是多少？
【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=﹣10（x﹣20）2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：
（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x﹣10）y=﹣10x2+400x﹣3000，
令W=840，则﹣10x2+400x﹣3000=840，
解得：x1=16，x2=24，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（2）根据数量关系找出W关于x的函数关系式；（3）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数的关系式是关键．

第17页（共17页）