三角形中的几何计算.docx

第2课时　三角形中的几何计算
课后强化作业
一、选择题
1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　）
A.北偏东10°　　　　　　　　　　　　　　　B.北偏西10°
C.南偏东10°　　　　　　　　　　　　　　　D.南偏西10°
［答案］　B
［解析］　如图，由题意知

∠ACB=180°-40°-60°＝80°，
∵AC=BC,∴∠ABC=50°,
∴α=60°-50°=10°.
2.甲船在B岛的正南A处，AB=10km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是 (　　)
A. min　　　　　　　　　　　　　　　　B. h
C.21.5min　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2.15h
［答案］　A
［解析］　如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：

PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos120°，
即s2=(10-4x) 2+(6x) 2-2(10-4x)×6x×(-)
=28x2-20x+100.
当x=-时，s2最小，此时x=h=min.
3.如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别为β、α（α＜β)，则A点离地面的高AB等于（　　）

A.　　　　　　　　　　　　　 B.
C. 　　　　　　　　　　　　　D.
［答案］　A
［解析］　由tanα=,tanβ=，联立解得AB＝.
4.一质点受到平面上的三个力、、（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知、成60°角，且、的大小分别为2和4，则的大小为 (　　)
A.6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.2
C.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2
［答案］　D
［解析］　由题意，得++＝0，
∴＋、＝-,
∴(+)2=2,
∴+2+2··＝2，
∴4+16+2×2×4×cos60°＝2，
∴2＝28，
∴||=2.故选D.
5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时（　　）
A.5海里　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.5海里
C.10海里　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.10海里
［答案］　C
［解析］　如图，依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°，

∴∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，
在Rt△ABC中，求得AB=5，
∴这艘船的速度是=10(海里/小时).
6.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（　　）
A.10米　　　　　　　　　　　　　　　　　B.100米
C.20米　　　　　　　　　　　　　　　　　D.30米
［答案］　D
［解析］　设炮台顶部为A，两条船分别为B,C,炮台底部为D，可知∠BAD=45°，∠CAD=
60°，∠BDC=30°，AD=30.分别在Rt△ADB,Rt△ADC中，求得BD=30,DC=30.在△DBC中，由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°，解得BC=30.
7.如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是（　　）

A.20（1+）m　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.20（1+）m
C.10（）m　　　　　　　　　　　　　　　　D.20（）m
［答案］　B
［解析］　由仰角与俯角的意义可知，
∠DAE=60°，∠EAC＝45°，
又EC＝20m,
∴BC=AE=20m,
在△AED中，DE=AEtan60°＝20m.
∴塔吊的高度是20（1+）m.
8.如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（　　）

A. 海里/小时 B.34海里/小时
C.海里/小时 D.34海里/小时
［答案］ A
［解析］ 由题意知PM=68，∠MPN=120°，∠N=45°,
由正弦定理知MN=68××=34,
∴速度为（海里/小时）.
二、填空题
9.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC=50°，∠CBE=70°，AC=90，BC=150，则DE= .

［答案］　210
［解析］　由题意知∠ACB=120°，
在△ACB中，由余弦定理，得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB
=902+1502-2×90×150×（-）＝44100.
∴AB=210,DE=210.
10.在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为　　　　　　　　.
［答案］　30°
［解析］　水流速度与船速的合速度为v,方向指向河岸，如图由题意可知sinα=
∴α=30°.

11.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸
　　　　　　米.
［答案］　50（）
［解析］　如图所示，

在△ABC中，∠C=90°，
∠ABC=45°，
AB=100,∴AC=50.
又在△ACD中，∠ADC=30°，
∴∠DAB=45°-30°＝15°.
sin15°=sin(45°-30°)=.
在△ABD中，由正弦定理，得
,
∴BD==50()（米）.
12.在灯塔上面相距50米的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离　　　　　　　　.
［答案］　25（+1）（米）
［解析］　由题意，作出图形如图所示，

设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°，
可知∠CBD=30°，∠BAC=45°+90°=135°,
∴∠ACB=180°-135°-30°=15°,
又AB=50,在△ABC中，由正弦定理，得,
∴AC=＝25（）（米）.
∴出事渔船离灯塔的距离CD= (米).
三、解答题
13.甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：sin21°47′=）
［分析］　解答本题可先画示意图，然后运用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向.
［解析］　设乙船速度为v海里/时，

在△ABC中，由余弦定理可知：
BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,
,
∴v=21海里/时.
又由正弦定理可知：,
∴sinB=,
∴∠B≈21°47′,
即乙船应按北偏东45°－21°47′＝23°13′的方向航行.
14.A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD=
120°，又在B点测得∠ABD=45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.

［解析］　如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD=45°,所以CD=AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可.
在△ABD中，∠BDA=180°-45°-120°=15°,
由（m）.
∵CD⊥平面ABD，∠CAD=45°，
∴CD=AD=800（+1）≈2 186（m）.
答：山高CD为2 186 m.
15.如图所示，海中一小岛周围3.8 n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东.船行8 n mile后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险.

［解析］　在△ABC中，AC=8，∠ACB=90°+60°=150°,∠CAB=90°-75°=15°,
∴∠ABC=15°.∴△ABC为等腰三角形，BC=AC=8，在△BCD中，∠BCD=30°,BC=8,
∴BD=BC·sin30°=4>3.8.故该船没有触礁危险.
16.如图所示，A、B两个小岛相距21n mile,B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.

［解析］　行驶t小时后，甲船行驶了9tn mile到达C处，乙船行驶了6tn mile到达D处.当9t<21，即t<时，C在线段AB上，此时BC=21-9t，在△BCD中，BC=21-9t,BD=6t,
∠CBD=180°-60°＝120°，由余弦定理，得
CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos120°
=（21-9t）2+(6t) 2-2×(21-9t)·6t·（-）
＝63t2-252t+441=63(t-2) 2+189.
∴当t=2时，CD取得最小值＝3.
当t=时，C与B重合，此时CD=6×＝14>3.
当t>时，BC=9t-21,则CD2=(9t-21) 2+(6t) 2-2×（9t-21）×6t×cos60°＝63t2-252t+441=63(t-
2) 2+189>189.
综上可知，t=2时，CD取最小值3，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3n mile.