三角形中的几何计算.docx

第2课时三角形中的几何计算课后强化作业一、选择题1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10答案B解析如图，由题意知ACB=180-40-6080，AC=BC,ABC=50,=60-50=10.2.甲船在B岛的正南A处，AB=10km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是 ()A. minB. hC.21.5minD.2.15h答案A解析如图，设经过x小时时距离为s，则在BPQ中，由余弦定理知：PQ2=BP2+BQ2-2BPBQcos120，即s2=(10-4x) 2+(6x) 2-2(10-4x)6x(-)=28x2-20x+100.当x=-时，s2最小，此时x=h=min.3.如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别为、（)，则A点离地面的高AB等于（）A. B. C. D. 答案A解析由tan=,tan=，联立解得AB.4.一质点受到平面上的三个力、（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知、成60角，且、的大小分别为2和4，则的大小为 ()A.6B.2C.2D.2答案D解析由题意，得+0，、-,(+)2=2,+2+22，4+16+224cos602，228，|=2.故选D.5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里答案C解析如图，依题意有BAC=60,BAD=75，CAD=CDA=15，从而CD=CA=10，在RtABC中，求得AB=5，这艘船的速度是=10(海里/小时).6.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距（）A.10米B.100米C.20米D.30米答案D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B,C,炮台底部为D，可知BAD=45，CAD=60，BDC=30，AD=30.分别在RtADB,RtADC中，求得BD=30,DC=30.在DBC中，由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DBDCcos30，解得BC=30.7.如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60，底部的俯角为45，那么这座塔吊的高是（）A.20（1+）mB.20（1+）mC.10（）mD.20（）m答案B解析由仰角与俯角的意义可知，DAE=60，EAC45，又EC20m,BC=AE=20m,在AED中，DE=AEtan6020m.塔吊的高度是20（1+）m.8.如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A. 海里/小时 B.34海里/小时C.海里/小时 D.34海里/小时答案 A解析 由题意知PM=68，MPN=120，N=45,由正弦定理知MN=68=34,速度为（海里/小时）.二、填空题9.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知DAC=50，CBE=70，AC=90，BC=150，则DE= .答案210解析由题意知ACB=120，在ACB中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=902+1502-290150（-）44100.AB=210,DE=210.10.在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为.答案30解析水流速度与船速的合速度为v,方向指向河岸，如图由题意可知sin=30.11.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45，现在要把倾斜角改成30，则坡底要伸米.答案50（）解析如图所示，在ABC中，C=90，ABC=45，AB=100,AC=50.又在ACD中，ADC=30，DAB=45-3015.sin15=sin(45-30)=.在ABD中，由正弦定理，得,BD=50()（米）.12.在灯塔上面相距50米的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45和60，试计算该渔船离灯塔的距离.答案25（+1）（米）解析由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45和60，可知CBD=30，BAC=45+90=135,ACB=180-135-30=15,又AB=50,在ABC中，由正弦定理，得,AC=25（）（米）.出事渔船离灯塔的距离CD= (米).三、解答题13.甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：sin2147=）分析解答本题可先画示意图，然后运用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向.解析设乙船速度为v海里/时，在ABC中，由余弦定理可知：BC2=AC2+AB2-2ACABcosCAB,v=21海里/时.又由正弦定理可知：,sinB=,B2147,即乙船应按北偏东4521472313的方向航行.14.A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD=120，又在B点测得ABD=45，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.解析如图，由于CD平面ABD，CAD=45,所以CD=AD.因此，只需在ABD中求出AD即可.在ABD中，BDA=180-45-120=15,由（m）.CD平面ABD，CAD=45，CD=AD=800（+1）2 186（m）.答：山高CD为2 186 m.15.如图所示，海中一小岛周围3.8 n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75东.船行8 n mile后，望见此岛在北60东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险.解析在ABC中，AC=8，ACB=90+60=150,CAB=90-75=15,ABC=15.ABC为等腰三角形，BC=AC=8，在BCD中，BCD=30,BC=8,BD=BCsin30=43.8.故该船没有触礁危险.16.如图所示，A、B两个小岛相距21n mile,B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6n mile/h的速度离开B岛向南偏东60方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.解析行驶t小时后，甲船行驶了9tn mile到达C处，乙船行驶了6tn mile到达D处.当9t21，即t3.当t时，BC=9t-21,则CD2=(9t-21) 2+(6t) 2-2（9t-21）6tcos6063t2-252t+441=63(t-2) 2+189189.综上可知，t=2时，CD取最小值3，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3n mile.