人教版平面向量的数量积及平面向量的应用.doc

平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理】1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos ，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20【问题思考】1若abac，则bc吗？为什么？提示：不一定a0时不成立，另外a0时，由数量积概念可知b与c不能确定2等式(ab)ca(bc)成立吗？为什么？提示：(ab)ca(bc)不一定成立(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等3|ab|与|a|b|的大小之间有什么关系？提示：|ab|a|b|.因为ab|a|b|cos ，所以|ab|a|b|cos |a|b|.【基础自测】1若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30 B60 C120 D150解析：选C(2ab)b0，2abb20，2|a|b|cos |b|20.又|a|b|，2cos 10，即cos .又0，即a与b的夹角为120.2已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1 B C. D1解析：选Da(1，1)，b(2，x)，ab1，2x1，即x1.3设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B. C. D.解析：选B|a2b| .4已知两个单位向量a，b的夹角为60，ct a(1t)b.若bc0，则t_.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60，所以ab，由bc0，得bt a(1t)b0，即t ab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.5已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析：选向量的基底为，则，那么()2.【考点分析】【考点一】平面向量数量积的概念及运算例1(1)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C D(2)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解(1)A(1,1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3,4)，(2,1)，(5,5)，因此cos，向量在方向上的投影为|cos，.(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x，2)(0x)，由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求的值及的最大值解：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0a1.(a，1)(0，1)a0(1)(1)1.(a，1)(1,0)a(1)0a1，故的最大值为1. 【方法规律】平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2.(2)求复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简变式：1若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x_.解析：a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又c(3，x)，(8ab)c183x30，x4.2若e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_解析：e1，e2的模为1，且其夹角.ab(e12e2)(ke1e2)kee1e22ke1e22ek(12k)cos22k.又ab0，2k0，即k.【考点二】平面向量的夹角与模的问题1平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题2高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)两向量垂直的应用；(3)已知数量积求模；(4)知模求模例2(1)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_(2)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_(3)在平行四边形ABCD中， AD1，BAD60，E为CD的中点若1, 则AB的长为_ 解(1)由|a|a2b|，两边平方，得|a|2|a2b|2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(2)，0，()0，即()()220.向量与的夹角为120，|3，|2，(1)| |cos 120940，解得.(3)法一：由题意可知，.因为1，所以()1，即221.因为|1，BAD60，所以|，即AB的长为.法二：以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD1，BAD60，可知AM，DM.设|AB|m(m0)，则B(m,0)，C，D.因为E是CD的中点，所以E.所以，.由1，可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或.故AB的长为.答案(1)(2)5(3)【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.变式：1若a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A B. C. D.解析：选C2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)(ab)9，|2ab|3，|ab|3.设所求两向量夹角为，则cos ，又0，故.2已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解析：a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab0，即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)(k1)(1cos )0，又a与b不共线，cos 1，k1.3已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，则|2|的值为_解析：(2,0)，|2，又(2)，(2)22120.(2)2422444210.|2|.【考点三】 平面向量数量积的应用例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos()，由0，得0，又0，所以，.【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.变式：设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)若tan tan 16，求证：ab.解：(1)由a与b2c垂直，得a(b2c)ab2ac0，即4sin()8cos()0，tan()2.(2)证明：由tan tan 16，得sin sin 16cos cos ，即4cos 4cos sin sin 0，所以ab.小结】1个条件两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件为：abab0.2个结论与向量夹角有关的两个结论(1)若ab0，则a与b的夹角为锐角或0；(2)若ab0，即(1,2)(1，2)0.(1)2(2)0.当a与ab共线时，存在实数m，使abma，即(1，2)m(1,2)，解得0.即当0时，a与ab共线，综上可知，实数的取值范围为(0，)11在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解：(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为2，4.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.