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平面向量的数量积及平面向量的应用
【知识梳理】1．平面向量的数量积
平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
【问题思考】1．若a·b＝a·c，则b＝c吗？为什么？
提示：不一定．a＝0时不成立，另外a≠0时，由数量积概念可知b与c不能确定．
2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？
提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．
3．|a·b|与|a|·|b|的大小之间有什么关系？
提示：|a·b|≤|a|·|b|.因为a·b＝|a||b|cos θ，所以|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a|·|b|.
【基础自测】
1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：选C　∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.又∵|a|＝|b|，∴2cos θ＋1＝0，即cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为120°.
2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
解析：选D　∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，∴2－x＝1，即x＝1.
3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选B　|a＋2b|＝＝＝ ＝.
4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.
解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0，得b·[t a＋(1－t)b]＝0，即t a·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2.
5．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那么·＝·(－)＝2.
【考点分析】
【考点一】平面向量数量积的概念及运算
[例1]　(1)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)
A. B. C．－ D．－
(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

[解]　(1)∵A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，
∴＝(2,1)，＝(5,5)，因此cos〈，〉＝＝，
∴向量在方向上的投影为||·cos〈，〉＝×＝.
(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x，2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.
【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求·的值及·的最大值．
解：

以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0≤a≤1.
·＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1.
·＝(a，－1)·(1,0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故·的最大值为1.　　　　　
【方法规律】平面向量数量积的类型及求法
(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)求复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
变式：1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.
解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．
又c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝18＋3x＝30，∴x＝4.
2．若e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析：∵e1，e2的模为1，且其夹角θ＝.
∴a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e
＝k＋(1－2k)cos－2＝2k－.
又∵a·b＝0，∴2k－＝0，即k＝.
【考点二】平面向量的夹角与模的问题
1．平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．
2．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：
(1)求两向量的夹角；
(2)两向量垂直的应用；
(3)已知数量积求模；
(4)知模求模．
[例2]　(1)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
(3)在平行四边形ABCD中， AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1, 则AB的长为________．
[解]　(1)由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.
又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝－＝－.
(2)∵⊥，∴·＝0，
∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，
∴(λ－1)| |||·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.
(3)法一：由题意可知，＝＋，＝－＋.因为·＝1，所以(＋)·＝1，即2＋·－2＝1.
因为||＝1，∠BAD＝60°，所以||＝，即AB的长为.

法二：以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝.
设|AB|＝m(m>0)，则B(m,0)，C，D.
因为E是CD的中点，所以E.所以＝，＝.
由·＝1，可得＋＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或.
故AB的长为.
[答案]　(1)－　(2)5　(3)
【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略
(1)求两向量的夹角．cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用．两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模．利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
变式：1．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)
A．－ B. C. D.
解析：选C　2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.
设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，又α∈[0，π]，故α＝.
2．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
解析：∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.
又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，
即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0，
即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)．∴(k－1)(1＋cos θ)＝0，
又a与b不共线，∴cos θ≠－1，∴k＝1.
3．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值为________．
解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，
∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝.
∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝.
【考点三】 平面向量数量积的应用
[例3]　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
[解]　(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以
由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝.
【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
变式：设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
解：(1)由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，
即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.
(2)证明：由tan αtan β＝16，得sin αsin β＝16cos αcos β，即
4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，所以a∥b.
小结】1个条件——两个非零向量垂直的充要条件
　两个非零向量垂直的充要条件为：a⊥b⇔a·b＝0.
2个结论——与向量夹角有关的两个结论
　(1)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0°；
　(2)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或180°.
4个注意点——向量运算中应注意的四个问题
(1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边△ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.
(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
【巩固练习】
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于(　　)
A．2 B．2 C．4 D．12
解析：选B　|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝2.
2．平面向量a与b的夹角为60°，且a＝(2,0)，|b|＝1，则|a－b|＝(　　)
A. B. C．3 D．4
解析：选C　|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos 60°＝4＋1－2×2×1×＝3.
3．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)
A. B．2 C．5 D．10
解析：选C　依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.
4. 如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝(　　)

A．2 B. C．－ D.
解析：选D　建系如图．

设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB,1)，
∵＝ ，∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0，1)，·＝.
5．已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是(　　)
A．[0,1] ；B．[－1,1]； C．[－，] ；D．[0，]
解析：选C　由a、b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，所以(a－b)·c＝|a－b||c|cos θ∈[－，]．
6．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)
A. ； B.；C. ；D.
解析：选A　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ) ，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)·(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.
7．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________．
解析：∵A，B，C为单位圆上三点，
∴||＝||＝||＝1，又＋＋＝0，
∴＝＋，∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得
cos〈，〉＝－，∴向量，的夹角为120°.
8.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P, 且AP＝3，则·＝________.

解析：设∠PAC＝θ，则·＝·2＝2|||·cos θ＝2||2＝2×32＝18.
9．(2013·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．
解析：当x＝0时，＝0，当x≠0时，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，当且仅当＝－时取到最大值．
10．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.∴λ>－.
当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线，
综上可知，实数λ的取值范围为∪(0，＋∞)．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为2，4.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.