1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义博白县龙潭中学 庞映舟一、教学重难点:1、重点:平面向量数量积的概念、性质的发现论证;2、难点:平面向量数量积、向量投影的理解;二、教学过程:(一)创设问题情景,引出新课问题:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?新课引入:本节课我们来研究学习向量的另外一种运算:平面向量的数量积的物理背景及其含义(二) 新课:1、探究一:数量积的概念展示物理背景:视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型背景的第一次分析:问题:真正使汽车前进的力是什么?它的大小是多少?答:实际上是力在位移方向上的分力,即,在数学中我们给它一个名字
2、叫投影。“投影”的概念:作图 定义:|cos叫做向量在方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;2、背景的第二次分析:问题:你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?分析:用文字语言表示即:力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积;功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢?平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量与,它们的夹角是,则数量|叫与的数量积,记作,即有 = |().并规定与任何向量的数量积为0.注:两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定.3、向量的数量积的几何意
3、义: 数量积等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积.三、例题讲解:例1 已知5,4,与的夹角=,求解:由向量的数量积公式得:(先复习特殊角度的余弦值)=|cos=54cos=54=10练习1已知8,6,与的夹角为,与的夹角=,求;解:由向量的数量积公式得:=|cos=86cos=86=24=|cos=86cos=861=48归纳总结:由特殊到一般的数学思想得到: 性质(1) 当与同向时, = ; 练习2已知1,2,当与的夹角为时,求和解:根据向量夹角的概念和向量的数量积公式得: =|cos=12cos=121=2 =|cos =11cos=111=1归纳总结:特别地常记作,这时 = ; = 0 ;四、练习: 五、课堂小结:“1+3”一个概念:数量积的定义 = |cos三个性质:1、当与同向时, = ; 2、特别地常记作,这时 = ; 3、 = 0 ;六、作业:课本109页 练习A,2,练习B,1、2