平面向量数量积的教案.doc

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向量数量积的物理背景与定义
山东省东营市胜利第一中学　郝葆华

　　一、教学目标

（一）知识与技能目标

1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义

2、知道平面向量的数量积与向量在轴上的射影的关系

3、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关系

（二）过程与方法目标

经历概念的形成过程，解题的思维过程，让学生亲身体验数形结合思想的指导作用.

（三)情感、态度与价值观目标

通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

　　二、教学重点和难点

    本节的重点是向量的数量积的定义及性质，难点是对向量数量积的定义及性质的理解和应用.

　　三、教学方法

倡导“自主、合作、探究”的学习方式，采用自主探究、讲议结合、多媒体辅助教学。

　　四、教学过程

教学

环节
教学内容
师生互动
设计意图

引 导 自 学 ， 感 知 知 识
1、一个力作用于一个物体，力的方向与前进方向有一个夹角，则力使物体位移所做的功___________

2、已知两个非零向量、,作，，则______称作向量和的夹角，记作_______,并规定它的范围是________

3、在轴上的正射影的坐标记作__,向量的方向与轴的___所成的角为，则_

4、(1）叫做向量和的数量积（内积)，记作，即___________

要求同学们在8分钟之内阅读教材、积极思考,完成老师设置的问题.

使同学们通过充分的自主参与,对教材知识有个初步了解,带着问题进入下一步的学习，以充分调动学生的学习兴趣.

教学

环节
教学内容
师生活动
设计意图
感知知识

引导自学,
(2），其中是_________,叫做_______，叫做________

5、叙述平面向量数量积的性质

师      生      互      动 ， 理      解      知      识
1、两个向量的夹角 
已知两个非零向量、，作＝，＝，则∠ＡＯＢ称作向量和向量的夹角，记作：

（1）注意求两向量的夹角,须先将两个向量平移至公共起点.

（2）两个向量夹角的范围：0

(3）当＝０时，与同向；

当＝π时，与反向.

（4）当＝时，与垂直，

记⊥.

（5）规定：零向量与任一向量垂直。

利用多媒体展示出不同位置关系的几组向量，借助几何直观对概念进行强调说明.

（1）向量同起点

（2)范围

（3）特殊情况

（4）突出一规定

借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为学习向量数量积的定义奠定基础。

突出一规定在向量数量积定义中就可不用再强调非零向量、。
教学

环节
教学内容
师生活动
设计意图

师      生      互      动 , 理      解      知      识
2、 向量在轴上的正射影 
（1)概念：已知向量和轴，作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为,则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影)。

（2）正射影的数量:

即向量在轴上的正射影的数量，记作

设向量的方向与轴的正向所成的角为，则

强调：正射影是一个向量，该射影在轴上的坐标才是一个数量。

（3)时，；

时，;

时，;

时，；

时，。

师生共同回顾自学时所认识的向量在轴上的正射影的概念。

在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念.

借助多媒体形象地展现正射影的数量,它可正、可负、可为零.

在两个概念的基础上,学生自主探索发现夹角和正射影数量的关系。教师可来回巡视,进行指导。

加强几何直观，有利于学生理解概念。

区别正射影与正射影的数量两个概念.

学生在已有知识的基础上,自主探索发现，发展认知，提高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。

教学

环节
教学内容
师生活动
设计意图

师       生       互       动   ,   理       解       知       识
3、 向量数量积的定义 
概念：叫向量和的数量积（或内积）,记作，即有

探究1：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？

两个向量的数量积是一个实数，符号由的符号所决定；而数乘向量是一个向量。

探究2：两个向量的数量积与两个实数的乘法有什么区别?

①书写：实数乘积或；

在实数中，若a?0，且a×b=0,则b=0；但是在数量积中,若，且，不能推出,因为其中cosq有可能为0.

②已知实数a、b、c(b?0），则ab=bc ? a=c,但是

③在实数中，有(a×b)c = a(b×c),但是

4、向量数量积的性质

（1）如果是单位向量,则

 ；

（2） 

且 ;

(3）或；

（4)；　
（5).
两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关。

教师提出问题，学生以小组为单位进行探究。

对于探究2此处重点强调书写的区别，其它性质或运算律的区别学生若想不到可在后面例1中展现。

教师采用“由特殊到一般"的方法展现向量数量积的性质：让即得到性质（1）；让即得到性质（2）；当时即为性质（3）；性质（4）实为公式变形；利用余弦函数有界性即可得性质（5）。

学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对新概念的理解与掌握。

提出问题引导学生去探究,培养学生的探索精神.

通过对书写的强调,体现数学的严谨性.

让学生体会“由特殊到一般，再由一般到特殊”的思维方法，发展学生的理性思维能力.

教学

环节
教学内容
师生活动
设计意图

师 生 互 动，理 解 知 识
性质的应用:

（2）可解决两向量的垂直问题；

申：解决两向量共线的问题：

且

(3）可求向量的长度;

（4)可求两向量的夹角，同时也建立了向量与三角的联系;

(5）建立了向量与不等式之间的联系。

学生自主观察性质特点，自主总结性质的应用价值，也可以以小组为单位进行探究.

培养学生自主探究、合作交流的能力,变“学会"为“会学"。

典    例    探    究 ， 掌    握    知    识
例1、判断正误：

①若,则对任一向量,有.                (√)

②若，则对任一非零向量,有。           ( × )

③若，则、至少有一个为零.                （ × )

④若，，则.                        （ ×）

⑤若，则当且仅当时成立。          （ ×)

⑥对任意向量、、，有 .             ( × ）

⑦对任意向量，有。                          ( √ )

⑧对任意向量，有.                      (×）

教师出示8个判断题,学生进行分析、判断，教师提问个别同学进行回答，根据回答情况进行强调和纠正。

通过题目帮助学生更准确的认识向量的数量积，并养成缜密推理的好习惯.

教学

环节
教学内容
师生活动
设计意图

典    例    探    究 , 掌    握    知    识
例2、已知，，

当①，②，③与的夹角是30°时，分别求。

例3、在正三角形中，边长为3,求（1）   (2）

强调：

第(2）问是个易错点，此两向量首尾相接，所以两向量的夹角不再为，而应为。

教师出示例题,由学生到黑板上板演，最后师生共同点评完成。

教师出示例题，由学生进行口头分析，充分展示学生的思维过程。

让学生在掌握向量数量积公式的基础上，进一步认识两个向量垂直、共线的充要条件，因为它是用“向量法"解决解析几何、立体几何中有关两直线位置关系问题的重要工具。

自   我   实   践 ， 应   用   知   识
练基础:

1、若，则与的夹角的取值范围是___________。

2、已知,=4，,则= __________。

3、已知 =2, 在方向上的正射影的数量为-4，则___________.

4、已知=3,,且，则在方向上的正射影的数量为________.

学生独立完成，教师核对答案，并关注学生的数学表达。

这些练习源于课本例、习题，充分体现以本为本。

教学

环节
教学内容
师生活动
设计意图

自    我    实    践 ， 应    用    知    识
练能力:

1、在四边形中，，且，则四边形是（    )

　梯形      菱形

 矩形      正方形

2、在中，,，且，则的形状为_________.

练应用：

1、已知平面上三点、、满足，,，求的值。

2、已知一个与水平夹角为的力，的大小为50，拉着一个重80的木块在摩擦系数为的水平面上运动了20,求拉力、摩擦力做的功分别为多少？

通过反馈练习，学生自我检验所学的效果,找出问题，进行弥补。

教材以力做功为背景引入新知识,练习以计算力做功而结束,首尾相应，并体现数学的应用价值。

归       纳       总       结
一、知识：

1、两个向量的夹角

2、向量在轴上的正射影及正射影的数量

3、向量数量积的定义及性质

二、能力：

1、运用数量积的定义及性质解决问题

2、探究问题的能力、合作交流的意识

三、数学思想：

1、数形结合思想

2、由特殊到一般，再由一般到特殊

学生反思本节内容，对知识进行总结,教师再强调补充。

让学生学会学习，养成自我总结、自我反思的习惯。重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。

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2010-04-28  人教网
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