平面向量的数量积及应用(含答案).doc

平面向量的数量积及应用基础知识1向量数量积的定义：(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量a、b，作 a、b，则称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定其范围是当a，b 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作.(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos的乘积(3)向量数量积的定义：(4)向量数量积的性质：如果e是单位向量，则aeea；ab；aa|a|2或|a| ；cosa，b；|ab| |a|b|.2向量数量积的运算律(1)交换律ab ；(2)分配律(ab)c(3)数乘向量结合律(ab).3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab；(2)设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab；(3)设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，则|a| ，cosa，b . (4)若则，4向量的应用(1)向量在平面几何中的应用平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由表现出来，用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将；通过向量运算，研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系(2)向量在解析几何中的应用设直线l的倾斜角为，斜率为k，向量a(a1，a2)且平行于直线l，则a称为直线l的，可以根据向量的知识得到向量(1，k)与向量a共线，因此(1，k)也是直线l的方向向量(3)向量在物理中的应用向量在力的分解与合成中的应用由于力是向量，它的分解与合成与向量的相类似，可以用向量来解决 基础练习1(2009全国，6)设a、b、c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为()A2 B.2 C1 D12若向量a(2,1)，b(3，x)，若(2ab)b，则x的值为()A3 B1或3 C1 D3或13若非零向量a、b满足|ab|b|，则()A|2b|a2b| B|2b|a2b| C|2a|2ab| D|2a|2ab|4设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，16，|，则|()A8 B4 C2 D15设a(4,3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|14，则b为()A(2,14) B(2，) C(2，) D(2,8) 典型例题题型一平面向量数量积的运算 例1(1)已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a与b的夹角为30，分别求ab. (2)如图所示，在平行四边形ABCD中，(1,2)，(3,2)，则_.练1(1)(2010广东卷，文)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3（2）已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.求a与b的夹角；求|ab|；若a，b，求ABC的面积题型二向量的夹角、模、垂直问题 【例2】(2009宁夏、海南卷)已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC是()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心练2在OAB中，a，b，OD是AB边上的高，若，则实数等于()A. B. C. D.例3若a(cos，sin)，b(cos，sin)且|kab|akb|，k 0，kR.(1)试用k表示ab；(2)求实数k的取值范围；(3)求ab的最大值、最小值，并求出取得最值时a与b的夹角的大小练3.已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，.(1)若ab，求；(2)求|ab|的最大值题型三平面向量的应用例4已知OFQ的面积为S且1.(1)若S0，则ABC为锐角三角形（ ）A B C D8已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为()A4 B3 C42 D32二、填空题9(2008江西高考)如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：A.2； B.22； C.； D()()其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)10已知点H为ABC的垂心，且3，则的值为_11已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.12若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足，则_.三、解答题13已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由14已知a(sin，1)，b(1，cos)，c(0,3)，.(1)若(4ac)b，求；(2)求|ab|的取值范围15如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP(00)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算的值；(3)求证：|FM|2|FA|FB|.平面向量的数量积及应用答案基础知识1向量数量积的定义：(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量a、b，作 a、b，则称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定其范围是当a，b 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作.(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos的乘积(3)向量数量积的定义：(4)向量数量积的性质：如果e是单位向量，则aeea；ab；aa|a|2或|a| ；cosa，b；|ab| |a|b|.2向量数量积的运算律(1)交换律ab ；(2)分配律(ab)c(3)数乘向量结合律(ab).3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab；(2)设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab；(3)设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，则|a| ，cosa，b . (4)若则，4向量的应用(1)向量在平面几何中的应用平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由表现出来，用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将；通过向量运算，研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系(2)向量在解析几何中的应用设直线l的倾斜角为，斜率为k，向量a(a1，a2)且平行于直线l，则a称为直线l的，可以根据向量的知识得到向量(1，k)与向量a共线，因此(1，k)也是直线l的方向向量(3)向量在物理中的应用向量在力的分解与合成中的应用由于力是向量，它的分解与合成与向量的相类似，可以用向量来解决 基础练习1(2009全国，6)设a、b、c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为()A2 B.2 C1 D1解析：不妨设a(1,0)，b(0,1)，c(cos，sin)则易得(ac)(bc)1sin()故得其最小值为1.答案：D2若向量a(2,1)，b(3，x)，若(2ab)b，则x的值为()A3 B1或3 C1 D3或1答案：B3若非零向量a、b满足|ab|b|，则()A|2b|a2b| B|2b|a2b| C|2a|2ab| D|2a|2ab|答案：A4设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，16，|，则|()A8 B4 C2 D1解析：216，|4，又|，两边平行整理得：0，ABC为直角三角形又M为BC的中点，|2，故选C.答案：C5设a(4,3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|14，则b为()A(2,14) B(2，) C(2，) D(2,8)答案：B典型例题题型一平面向量数量积的运算 例1(1)已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a与b的夹角为30，分别求ab.解析：当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0，ab|a|b|cos025110；若a与b反向，则它们的夹角为180，ab|a|b|cos18025(1)10.当ab时，它们的夹角为90，ab|a|b|cos902500.当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos30255.(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，(1,2)，(3,2)，则_.解析：由于四边形ABCD为平行四边形，设O为AC与BD的交点，连结O点与DC的中点E，则22()(1,2)，所以1223.答案：3练1(1)(2010广东卷，文)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3解析：由题意可得8ab(6,3)，又(8ab)c30，c(3，x)，183x30x4.答案：C（2）已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.求a与b的夹角；求|ab|；若a，b，求ABC的面积解析：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos.又0，.(2)|ab.(3)与的夹角.ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433题型二向量的夹角、模、垂直问题 【例2】(2009宁夏、海南卷)已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC是()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心解析：由|，可知点O到ABC三个顶点的距离相等，所以点O是ABC的外心设BC的中点为M，由0，得20，所以点N是ABC的重心由，得()0，所以，同理，、，所以点P是ABC的垂心故选C.答案：C 练2在OAB中，a，b，OD是AB边上的高，若，则实数等于()A. B. C. D.解析：，()，(1)(1)ab，又OD是AB边上的高，0即()0，(1)ab(ba)0，整理可得(ba)2a(ab)，即得，故选B.答案：B 例3若a(cos，sin)，b(cos，sin)且|kab|akb|，k0，kR.(1)试用k表示ab；(2)求实数k的取值范围；(3)求ab的最大值、最小值，并求出取得最值时a与b的夹角的大小解析：(1)|kab|akb|，(kab)23(akb)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2，且|a|b|1，ab.(2)|a|b|1，ab|a|b|cosa，b|a|b|1，1.又k0，k24k10，2k2.(3)ab(k)，当且仅当k1时，(ab)min，此时cos.60.当且仅当k2时，(ab)max1，0.练3.已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，.(1)若ab，求；(2)求|ab|的最大值解析：（1） (2)由a(sin，1)，b(1，cos)，得ab(sin1,1cos)，|ab|，当sin()1时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|的最大值为1.题型三平面向量的应用例4已知OFQ的面积为S且1.(1)若S2，求向量与的夹角正切值的取值范围；(2)设|c(c2)，Sc，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|取得最小值时，求此椭圆方程.解析：(1)由已知得tan2S.由S2，故1tanb0)，又设点Q的坐标为(x0，y0)，则(x0c，y0)SOFQ|y0|y0|c，|y0|.又1，(c,0)(x0c，y0)1，解得x0c.|.当c2时，c随c的增大而增大，因此当且仅当c2时，|有最小值，此时Q点坐标为(，)或(，)解得故所求的椭圆方程为1.练4如右图，在水平杆子AB上用两根垂直的绳子吊10 kg的物体W，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小(忽略绳子重量)解析：设A、B处所受力分别为f1、f2, 10 kg的重力用f表示，则f1f2f.以重力作用点C为f1、f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则f2，f1，f，则ECW18015030，FCW18012060，FCE90，四边形CEWF为矩形|cos30105， |cos60105.本课小结1在实数运算中，ab0a0或b0，而在向量运算中，ab0a0或b0是错误的，应该有以下四种情况：(1)a0，b0；(2)a0，a0；(3)a0，b0；(4)a0，b0，但ab.2向量数量积的性质|a|，cos，ab0ab，因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题3以下是向量数量积的向量形式和坐标形式，应恰当合理地运用设a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则(1)ab|a|b|cosx1x2y1y2；(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aaa2|a|2xy，|a|.(3)|ab|a|b|，即|ab|x1x2y1y2|.4向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断两向量是否垂直5用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论，要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件6证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：(1)要证ABCD，可转化证明22或|.(2)要证两线段ABCD，只要证存在一实数0，使等式成立即可(3)要证两线段ABCD，只需证0.平面向量的数量积及应用活页作业答案一、选择题1已知a，b，ab，ab均为非零向量，则(ab)(ab)0是|a|b|的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：(ab)(ab)0a2b20|a|2|b|2|a|b|.答案：C2已知A(1,2)、B(3,4)、C(2,2)、D(3,5)，则向量在向量上的投影为()A.B C. D解析：(2,2)，(1,3)，设和的夹角为，则向量在向量上的投影为|cos.答案：A3设向量a、b、c满足abc0，且ab0，|a|3，|c|4，则|b|（ ）A5 B. C. D7解析：由abc0得c(ab)，又ab0，c2(ab)2a22abb2a2b2，|b|2|c|2|a|242327，即|b|.故选B.答案：B4如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy60，该平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若xe1ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)下列说法正确的是()AP(x，y)满足|1，则x2y21 BP(x，y)满足x2y21，则|1CP0(x0，y0)满足xy1，使得|1 D以上说法都不正确解析：显然若|1，可以得到21(xe1ye2)2x2xyy2；同时若P0点的坐标为(0,1)或(1,0)时，P0(x0，y0)满足xy1，且使得|1.答案：C5(2009辽宁高考)平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|()A. B2 C4 D12解析：因为a(2,0)，|b|1，所以|a|2，ab21cos601，故|a2b|2.答案：B6(2009浙江高考)设向量a，b满足：|a|3，|b|4，ab0，以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为A3 B4 C5 D6解析：设a，b，则ABC为直角三角形，将半径为1的圆在ABC的平面上移动，则该圆最多只能与ABC的一个角的两边相交，故选B.答案：B7在ABC中，有如下命题，其中正确的是()0若()()0，则ABC为等腰三角形若0，则ABC为锐角三角形A B C D解析：在ABC中，错误；若0，则B是钝角，ABC是钝角三角形，错误答案：C8已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为()A4 B3 C42 D32解析：如图，设APO，|2cos2|2(12sin2)(|OP|21)(12)|OP|2323，当且仅当|OP|2，w。w-w*k&s%5￥u即|OP|时，“”成立答案：D二、填空题9(2008江西高考)如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：A.2； B.22； C.； D()()其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)解析：2，A对取AD的中点O，则222，B对设|1，则2cos3，而21cos1，C错又()(2)2()()D对真命题的代号是A，B，D.答案：ABD10已知点H为ABC的垂心，且3，则的值为_解析：依题意得()0，因此，3.答案：311已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.解析：由题意得ab|a|b|cos3023.答案：312(2009天津高考)若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足，则_.解析：由题意有|cos606，()()()()22121262.故填2.答案：2三、解答题13已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解析：设存在点M，且(6，3)(01)，(26，53)，(36，13)，(26)(36)(53)(13)0，即45248110，解得或.(2,1)或(，)存在M(2,1)或M(，)满足题意14已知a(sin，1)，b(1，cos)，c(0,3)，.(1)若(4ac)b，求；(2)求|ab|的取值范围解析：(1)4ac(4sin，4)(0,3)(4sin，1)，4acb，4sincos10.sin2.(，)，2(，)2或，即或.(2)ab(sin1,1cos)，|ab|，由(1)知，sin()(，12sin()(2,2|ab|(1, 115(2009珠海质检)如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP(0)，四边形OAQP的面积为S.(1)求S的最大值及此时的值0；(2)设点B的坐标为(，)，AOB，在(1)的条件下，求cos(0)解析：(1)由已知，A，P的坐标分别为(1,0)，(cos，sin)，(1cos，sin)，1cos，又Ssin，Ssincos1sin()1(00)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算的值；(3)求证：|FM|2|FA|FB|.解析：(1)设A(x1，)，B(x2，)，由y得y，直线AM的方程为y(xx1)，直线BM的方程为y(xx2)，解方程组得x，y，即M(，)，由已知F(0,2)，且A，B，F三点共线，设直线AB的方程为ykx2，与抛物线方程x28y联立消去y可得x28kx160，x1x28k，x1x216，M点的纵坐标为2，线段FM中点的纵坐标为0，即线段FM被x轴平分(2)(4k，4)，(x2x1，)，4k(x2x1)(x2x1)(4k)0.(3)(，2)，(，2)，(2)(2)48440，而MFAB，所以在RtMAB中，由射影定理即得|FM|2|FA|FB|.