限时集训(二十六)-平面向量的数量积及平面向量的应用.doc

限时集训(二十六)　平面向量的数量积及平面向量的应用

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2012·重庆高考改编)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.
2．(2012·湖北高考改编)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．
3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.

4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是________．
5．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·PB―→的最小值为________．
6．(2013·南京四校联考)已知向量a的模为2，向量e为单位向量，e⊥(a－e)，则向量a与e的夹角大小为________．
7．(2013·扬州期中)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝__________.
8．如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·(＋)＝________.

9．(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为__________；·的最大值为________．
10．(2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.

二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

12．(满分14分)(2012·扬州模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.若·＝·＝k(k∈R)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若k＝2，求b的值．

13.(满分16分)(2013·苏北四市联考)已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.
(1)求A的大小；
(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．

14．(满分16分)已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)．设m＝a＋tb(t为实数)．
(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；
(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．

答案

[限时集训(二十六)]
1．解析：由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝＝.
答案：
2．解析：2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a＋b与a－b的夹角为.
答案：
3．解析：建系如图．设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，
＝(－xB,1)，
∵＝，∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)·xB，yC＝，
＝((1－)xB，)，＝(0,1)，·＝.
答案：
4．解析：设a与b的夹角为θ，
∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cos θ＝＝－，
∴|a|cos θ＝6×＝－4.
答案：－4
5．解析：设∠APB＝2θ，||＝x，则·＝||·||·cos 2θ＝||2cos 2θ＝(||2－1)·(1－2sin2θ)＝(x2－1)·＝x2－2－1＋≥－3＋2，当且仅当x2＝即x＝时取等号．
答案：－3＋2
6．解析：∵e⊥(a－e)，
∴e·(a－e)＝e·a－e2＝
1×2cos θ－1＝0，
∴cos θ＝，
∴θ＝.
答案：
7．解析：∵a＋b与ka－b垂直，
∴(a＋b)·(ka－b)＝0，
化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.
答案：1
8．解析：由于＝＋，＝＋，所以＋＝＋＋＋＝－.(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝9－4＝5.
答案：5
9．解析：法一：以，为基向量，设＝λ(0≤λ≤1)，则－＝ －＝λ－，＝－，所以·＝(λ－)·(－)＝－λ·＋＝－λ×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为1.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E点坐标为(t，0)(0≤t≤1)可得·＝(t，－1)·(0，－1)＝1， ·＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，,故·＝1，·最大值为1.
答案：1　1
10．解析：设AC与BD的交点为O，则·＝·2＝22＋2·＝2×32＋0＝18.
答案：18
11．解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，
即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.
∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.
∴λ>－.
当a与a＋λb共线时，存在实数m，
使a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，
∴解得λ＝0.
即当λ＝0时，a与a＋λb共线，
综上可知，λ>－且λ≠0.
12．解：(1)∵·＝cbcos A，·＝bacos C，
∴bccos A＝abcos C，
根据正弦定理，得sin Ccos A＝
sin Acos C，
即sin Acos C－cos Asin C＝0，sin(A－C)＝0，
∴∠A＝∠C，即a＝c.
则△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得
·＝bccos A＝bc·＝.
·＝k＝2，即＝2，解得b＝2.
13．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.
∴3cos2A－1＋cos2A＝0，
∴cos2A＝.
又∵△ABC为锐角三角形，
∴cos A＝，
∴A＝.
(2)由(1)可得m＝，
n＝.
∴||＝p，||＝q.
∴S△ABC＝||·||·sin A＝pq.
又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，
∴·≤，
∴·≤3.
∴p·q≤9.
∴△ABC面积的最大值为×9＝.
14．解：(1)因为α＝，
所以b＝，a·b＝，
则|m|＝＝

＝ ＝
，
所以当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为.
(2)存在满足题意的实数t，
由条件得cos＝，
又因为|a－b|＝＝，
|a＋t b|＝＝ ，
(a－b)·(a＋t b)＝5－t，
则有＝，且t<5，
整理得t2＋5t－5＝0，所以存在t＝满足条件．