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两个二次和谐共处
二次函数与一元二次方程是初中数学中的重要内容，二者有着密切的联系.认识二者之间的关系，对于解决二次函数有着重要的意义.
当y=0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）就变成了二次方程ax2+bx+c=0，所以二次方程ax2+bx+c=0的根也就是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
要估计一元二次方程ax2+bx+c=0的解,可以先画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,然后估计函数图象与x轴交点的横坐标即可得到一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根.
图1
例1（江西）已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为 ．
分析:因为二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴交点的横坐标就是方程-x2+2x+m=0两个根,故本题需要根据已知条件确定抛物线与x轴的交点坐标.
解: 因为抛物线y=-x2+2x+m与x轴的一个交点坐标是(3,0),对称轴是x=1,根据抛物线的对称性可知,抛物线与x轴另一个交点的坐标是(-1,0),所以方程-x2+2x+m=0的两个分别是x1=-1,x2=3.
评注: 根据抛物线求相应方程的根,关键是确定抛物线与x轴交点的坐标.
例2（贵阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．
（2）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
分析:观察抛物线可知,抛物线与x轴的两个交点的坐标为(1,0)和(3,0),
图2
所以所以方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1,x2=3;(2)根据方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根求k的范围,则需要求出a,b,c的值,为此需要求二次函数y=ax2+bx+c的a,b,c的值.
解: (1)观察图象可知方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1,x2=3.
(2) 因为抛物线经过点(1,0),(3,0),顶点坐标为(2,2),可设y=a(x-2)2+2,
把(1,0)代入得,a=-2,
所以y=-2(x-2)2+2=-2x2+8x-6,
所以a=-2,b=8,c=-6,
所以方程ax2+bx+c=k即为-2x2+8x-6=k.
根据方程有两个不相等的实数根可得 82-4×(-2)×(-6-k)>0,
解得k<2.
评注: 解决二次函数与二次方程有关的问题,有时需要确定二次方程根的情况,此时可通过求抛物线表达式来确定相应方程的系数,进而解决问题.
图3
例3 (内蒙古赤峰) 如图3，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B,C的横坐标，且此抛物线过点A(3,6)．求此二次函数的表达式．
分析:要求二次函数表达式,需要求到B,C两点的坐标,为此需要解方程x2+2x-3=0.
解:（1）解方程x2+2x-3=0,得x1=-3,x2=1,
所以抛物线与x轴的两个交点坐标为：C(-3,0),B(1,0),
设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1),
因为点A(3,6)在抛物线上,所以6=a(3+3)(3-1),所以a=.
所以抛物线表达式为：y=x2+x-.
评注:本题主要先根据二次方程的根确定抛物线与x轴的交点坐标,然后再利用待定系数法求出二次函数表达式.