1、两个二次和谐共处二次函数与一元二次方程是初中数学中的重要内容，二者有着密切的联系.认识二者之间的关系，对于解决二次函数有着重要的意义.当y=0时，二次函数y=ax2+bx+c（a0）就变成了二次方程ax2+bx+c=0，所以二次方程ax2+bx+c=0的根也就是二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交点的横坐标.要估计一元二次方程ax2+bx+c=0的解,可以先画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,然后估计函数图象与x轴交点的横坐标即可得到一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根.图1例1（江西）已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x
2、+m=0的解为 分析:因为二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴交点的横坐标就是方程-x2+2x+m=0两个根,故本题需要根据已知条件确定抛物线与x轴的交点坐标. 解: 因为抛物线y=-x2+2x+m与x轴的一个交点坐标是(3,0),对称轴是x=1,根据抛物线的对称性可知,抛物线与x轴另一个交点的坐标是(-1,0),所以方程-x2+2x+m=0的两个分别是x1=-1,x2=3. 评注: 根据抛物线求相应方程的根,关键是确定抛物线与x轴交点的坐标. 例2（贵阳）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根（2）若方程ax
3、2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围 分析:观察抛物线可知,抛物线与x轴的两个交点的坐标为(1,0)和(3,0),图2所以所以方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1,x2=3;(2)根据方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根求k的范围,则需要求出a,b,c的值,为此需要求二次函数y=ax2+bx+c的a,b,c的值. 解: (1)观察图象可知方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1,x2=3.(2) 因为抛物线经过点(1,0),(3,0),顶点坐标为(2,2),可设y=a(x-2)2+2, 把(1,0)代入得,a=-2,所以y=-2(x-2)2+2=-2x2+8x-
4、6,所以a=-2,b=8,c=-6,所以方程ax2+bx+c=k即为-2x2+8x-6=k.根据方程有两个不相等的实数根可得 82-4(-2)(-6-k)0,解得k2. 评注: 解决二次函数与二次方程有关的问题,有时需要确定二次方程根的情况,此时可通过求抛物线表达式来确定相应方程的系数,进而解决问题.图3 例3 (内蒙古赤峰) 如图3，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2(x1x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B,C的横坐标，且此抛物线过点A(3,6)求此二次函数的表达式分析:要求二次函数表达式,需要求到B,C两点的坐标,为此需要解方程x2+2x-3=0. 解:（1）解方程x2+2x-3=0,得x1=-3,x2=1,所以抛物线与x轴的两个交点坐标为：C(-3,0),B(1,0), 设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1), 因为点A(3,6)在抛物线上,所以6=a(3+3)(3-1),所以a=.所以抛物线表达式为：y=x2+x-. 评注:本题主要先根据二次方程的根确定抛物线与x轴的交点坐标,然后再利用待定系数法求出二次函数表达式.
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