辽宁省辽阳市2022年数学高一上期末经典模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，若对任意,或，则的取值范围是
A. B.
C. D.
2．不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
3．设函数，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
5．已知是定义在区间上的奇函数，当时，.则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
6．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆-嫦娥五号返回：舱之所以能达到如此髙的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少还需要“打水漂”的次数为（）(参考数据：取lg2≈0.301， lg3≈0.477)

A.4 B.5
C.6 D.7
7．若，且，那么角的终边落在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8．已知函数.若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为（）
A. B.
C. D.
10．设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知点，，在函数的图象上，如图，若，则______.

12．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于坐标原点对称.若，则___________.
13．函数函数的定义域为________________
14．已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________
15．已知直线,直线若，则______________
16．有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从___________年(填年份)开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据：，)
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四棱锥的底面是菱形，，平面，是的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，确定的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.
18．如图所示，设矩形的周长为cm，把沿折叠，折过去后交于点，设cm，cm

（1）建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域;
（2）求的最大面积以及此时的的值
19．为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于养殖业发展，并计划今后年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长
（1）写出第年（年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从第几年开始（年为第一年），每年投入的资金数将超过万元？（参考数据：，，，，）
20．已知定义在R上的函数满足：①对任意实数x，y，都有；②对任意
（1）求；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）若，直接写出的所有零点（不需要证明）
21．在中，，记，且为正实数），
（1）求证：；
（2）将与的数量积表示为关于的函数；
（3）求函数的最小值及此时角的大小

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】先判断函数g（x）的取值范围，然后根据或成立求得m的取值范围.
【详解】∵g（x）＝﹣2，当x<时,恒成立，
当x≥时，g（x）≥0，
又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，
∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，
即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，
则二次函数y＝m（x﹣2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧，
∴，
即，
解得＜m＜0，
∴实数m的取值范围是：（，0）
故选C
【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大
2、C
【解析】根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项
【详解】因为不等式的解集为，
故，故，故，
令，解得或，
故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，
故选：C
3、D
【解析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可
【详解】解：函数的图象如图：
满足，
可得或，
解得
故选：D

4、D
【解析】由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数
所以0<x<1，或－1<x<0.选D
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
5、A
【解析】分析：根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化为一般的不等式求解即可
详解：∵，函数f(x)为奇函数，
∴，
又f(x)是定义在[−1,1]上的减函数，
∴ ，即，解得
∴不等式的解集为
故选A
点睛：解题的关键是根据函数的奇偶性将不等式化为或的形式，然后再根据单调性将函数不等式化为一般的不等式求解，解题时不要忘了函数定义域的限制
6、C
【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，再根据题设列不等式求解即可.
【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝.
由，得，则，
所以，故，又，
所以至少需要“打水漂”的次数为6.
故选：C
7、C
【解析】由根据三角函数在各象限的符号判断可能在的象限，再利用两角和的正弦公式及三角函数的图象由求出的范围，两范围取交集即可.
【详解】，在第二或第三象限，
，即，
或，
解得或，
又在第二或第三象限，在第三象限.
故选：C
【点睛】本题考查三角函数值在各象限的符号、正弦函数的图象与性质，属于基础题.
8、C
【解析】先对函数化简变形，然后由在上有解，可知，所以只要求出在上即可
【详解】

，
由，得，
所以，
所以，即，
由在上有解，可知，
所以，得，
氢实数m的取值范围是，
故选：C
9、B
【解析】根据题意，求得长方体的体对角线，即为该球的直径，再用球的表面积公式即可求得结果.
【详解】由已知，该球是长方体的外接球，
故，
所以长方体的外接球半径，
故外接球的表面积为.
故选：.
【点睛】本题考查长方体的外接球问题，涉及球表面积公式的使用，属综合基础题.
10、D
【解析】解出集合、，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果.
【详解】，.
图中阴影部分所表示的集合为且.
故选：D.
【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设的中点为，连接，由条件判断是等边三角形，并且求出和的长度，即根据周期求.
【详解】设的中点为，连接，

，
，且，
是等边三角形，并且的高是,
，即，
，即，
解得：.
故答案为：
【点睛】本题考查根据三角函数的周期求参数，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是利用直角三角形的性质和三角函数的性质判断的等边三角形.
12、##
【解析】根据题意，利用同角三角函数的基本关系，再由诱导公式，可得答案.
【详解】角α与角β的终边关于坐标原点对称,
所以
由诱导公式可得:
，；
故答案为：
13、（1,3）
【解析】函数函数的定义域,满足
故答案为（1,3）.
14、 ①. ②.
【解析】根据定义域得，再得到取最大值的条件求解即可；先得到一般性的单调增区间，再根据集合之间的关系求解.
【详解】因为，且在此区间上的最大值是，所以
因为f(x)max=2tan=，所以 tan==，即ω=
由，得
令，得，即在区间上单调递增
又因在区间上单调递增，所以<，即
所以的取值范围是
故答案为：1，
15、
【解析】由两条直线垂直，可得，解方程即可求解.
详解】若，则，解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了由两条直线互相垂直，求参数的范围，熟练掌握直线垂直的充要条件是解题的关键，考查了运算能力，属于基础题.
16、2021
【解析】根据条件列指数函数，再解指数不等式得结果.
【详解】设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从2015年开始增加的年份数，由题意可得，，得，
两边取对数可得，∴，得，解得，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.
故答案为：2021

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析(2) 点为的中点
【解析】（1）证面面垂直，可先由线面垂直入手即，进而得到面面垂直；（2）通过构造平行四边形，得到线面平行．
解析：
（1）连接，因为底面是菱形，,所以为正三角形.
因为是的中点, 所以,
因为面,，∴，
因为，，,
所以.
又, 所以面⊥面.

（2）当点为的中点时，∥面.
事实上，取的中点,的中点，连结，，
∵为三角形的中位线，
∴∥且，
又在菱形中，为中点，
∴∥且，
∴∥且，
所以四边形平行四边形.
所以 ∥，
又面，面，
∴∥面，结论得证.

点睛：这个题目考查了线面平行的证明，线面垂直的证明．一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行．证明线线垂直也可以从线面垂直入手．
18、（1），定义域
（2），的最大面积为
【解析】（1）由题意可得，再由可求出的取值范围，
（2）设，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，从而可求得，化简后利用基本不等式可求得结果
【小问1详解】
因为，，矩形ABCD的周长为20cm，
所以，因为，所以，
解得．所以，定义域为
【小问2详解】
因为ABCD是矩形，所以有，
因为是沿折起所得，
所以有，，因此有，
，所以≌，因此，
设．而ABCD是矩形，所以，
因此
在直角三角形ADP中，有，
所以，
化简得，
当且仅当时取等号，即时，的最大面积为
19、（1），其定义域为
（2）第年
【解析】（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，然后进一部确定函数解析式及定义域；
（2）由（1）得，然后利用对数运算求解集.
【小问1详解】
第一年投入的资金数为万元，
第二年投入的资金数为万元，
第x年（年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式为，其定义域为
【小问2详解】
由（1）得， ，
即，
因为，
所以
即该企业从第年，就是从年开始，每年投入的资金数将超过万元
20、（1）
（2）为偶函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）令，化简可求出，
（2）令，则，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，
（3）利用赋值求解即可
【小问1详解】
令，则，
，得或，
因对任意，所以
【小问2详解】
为偶函数
证明：令，则，
得，
所以为偶函数
【小问3详解】
令，则，
因为，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……，
所以
即当时，，
所以函数的零点为
21、（1）证明见解析；（2）；（3）2，.
【解析】（1）由，得到，根据，即可求解；
（2）由，整理得，即可求得表达式；
（3）由（2）知，结合基本不等式，求得的最小值，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）在中，，可得，
所以，所以.
（2）由，可得，
即，整理得，
所以
（3）由（2）知，
因为为正实数，则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为2，即，
此时，因为，可得，
又因为，此时为等边三角形，所以
【点睛】求平面向量的模的2种方法：
1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；
2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.