资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知为钝角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角（ ）
A.90° B.60°
C.45° D.30°
3．若函数的图像向左平移个单位得到的图像，则
A. B.
C. D.
4．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
5． “”是“关于的方程有实数根”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知函数．则“是偶函数“是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知函数的定义域为R，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（）
A. B.
C D.
8．已知为偶函数，当时，，当时，，则满足不等式的整数的个数为（）
A.4 B.6
C.8 D.10
9．已知函数的定义域为，若是奇函数，则
A. B.
C. D.
10．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．的值为______
12．，，则的值为__________.
13．已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______.
14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为4的直角三角形，俯视图是半径为2的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为______
15．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知角的终边与单位圆交于点
（1）写出、、值；
（2）求的值
17．已知函数，若函数的定义域为集合，则当时，求函数的值域.
18．已知，且向量在向量的方向上的投影为，求：
（1）与的夹角;
（2）.
19．已知集合，
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围
20．已知直线
（1）求证：直线过定点
（2）求过(1)的定点且垂直于直线直线方程.
21．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处，第一种是从A沿直线步行到C，第二种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到某旅客选择第二种方式下山，山路AC长为1260m，从B处步行下山到C处，，经测量，，，求索道AB的长
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
【解析】先求出，再利用和角的余弦公式计算求解.
【详解】∵为钝角，且，
∴，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2、B
【解析】将原图还原到正方体中，连接SC，AS，可确定（或其补角）是PB与AC所成的角.
【详解】因为ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，可将原图还原到正方体中，连接SC，AS，则PB平行于SC，如图所示.
∴（或其补角）是PB与AC所成的角，∵为正三角形，
∴，∴PB与AC所成角为.
故选：B.
3、A
【解析】函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为：
本题选择A选项.
4、D
【解析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，可得答案
【详解】当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，等价于，即，
因为是定义在上的奇函数，
所以时，在上单调递增，且，所以等价于，即，
所以不等式的解集为
故选：D
5、A
【解析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】当时，方程的实数根为，
当时，方程有实数根，则，解得，则有且，
因此，关于的方程有实数根等价于，
所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.
故选：A
6、B
【解析】利用必要不充分条件的概念，结合三角函数知识可得答案.
【详解】若，则，，所以为偶函数；
若为偶函数，则，，不一定等于.
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】关键点点睛：掌握必要不充分条件的概念是解题关键.
7、A
【解析】由题意判断出函数关于对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.
【详解】∵是偶函数，∴函数关于对称，∴，又∵在上单调递增，∴在单调递减，∴可化为，解得，∴不等式解集为.
故选：A
8、C
【解析】由时的解析式,可先求得不等式的解集.再根据偶函数性质,即可求得整个定义域内满足不等式的解集,即可确定整数解的个数.
【详解】当时,,解得,所以；
当时,,解得,所以.
因为为偶函数,
所以不等式的解集为.
故整数的个数为8.
故选:C
【点睛】本题考查了不等式的解法,偶函数性质的应用,属于基础题.
9、D
【解析】由为奇函数，可得，求得，代入计算可得所求值
【详解】是奇函数，
可得，且时，
，可得，
则，
可得，
则，
故选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于基础题
10、D
【解析】由正切函数的对称中心得，得到，令可解得函数的单调递减区间.
【详解】因为是函数的对称中心，所以，解得
因为，所以，，
令，解得，
当时，函数的一个单调递减区间是
故选：D
【点睛】本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】直接利用对数的运算法则和指数幂的运算法则求解即可
【详解】
12、#0.3
【解析】利用“1”的代换，构造齐次式方程，再代入求解.
【详解】，
故答案为：
13、2
【解析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.
【详解】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故.
故答案为：2.
【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
14、
【解析】由题得几何体为圆锥的，根据三视图的数据计算体积即可
【详解】由三视图可知几何体为圆锥的，圆锥的底面半径为2，母线长为4，
∴圆锥的高为
∴V=×π×22×=
故答案为
【点睛】本题主要考查了圆锥的三视图和体积计算，属于基础题
15、二
【解析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限
【详解】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，
则角α的终边在第二象限，
故答案为二
点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）=；=；=（2）
【解析】（1）根据已知角的终边与单位圆交于点，结合三角函数的定义即可得到、、的值；（2）依据三角函数的诱导公式化简即可，
，最后利用第（1）小问的结论得出答案.
试题解析：（1）已知角终边与单位圆交于点，
.
（2）.
点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，即当角的终边与单位圆的交点为时，则，，，运用诱导公式化简求值，在化简过程中必须注意函数名是否改变以及符号是否改变等．本题是基础题，解答的关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识.
17、
【解析】先求函数的定义域集合，再求函数的值域
【详解】由，得，所以函数的值域为
【点睛】求函数值域要先准确求出函数的定义域，注意函数解析式有意义的条件，及题目对自变量的限制条件
18、（1）；（2）
【解析】（1）由题知，进而得出，即可求得.
（2）根据数量积的定义即可得出答案.
【详解】解：（1）由题意，，所以.
又因为，所以.
（2）.
【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题.
19、（1）或；；（2）.
【解析】（1）时求出集合，，再根据集合的运算性质计算和；
（2）根据，讨论和时的取值范围，从而得出实数的取值范围
【详解】解：（1）当时，，
或，
或；
又，
；
（2），
当，即时，，满足题意；
当时，应满足，此时得；
综上，实数的取值范围是
【点睛】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题
20、（1）见解析；（2）.
【解析】⑴将直线化为，解不等式组即可得证；⑵由（1）知定点为，结合题目条件计算得直线方程
解析：（1）根据题意将直线化为的
解得，所以直线过定点
（2）由（1）知定点为，设直线的斜率为k，
且直线与垂直，所以，
所以直线的方程为
21、索道AB的长为1040m
【解析】利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理求AB即可
【详解】解：在中，，，
，，
则，
由正弦定理得得，
则索道AB的长为1040m
【点睛】本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键
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