华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总.doc

华南师范大学考研数学分析试题
2000年华南师范大学数学分析
一、 填空题（3*10=30分）
1. 设；
2. 设
3.
4.
5. 方程在区间[0,1]中至多有_________个根；
6. 7.设
8. 在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________;
9. 写出函数在x=0处的幂级数展开式：
10. 曲线的弧长s=___________________.
二、 (12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.

三、 (12分)设函数z=z(x,y),由方程所确定，其中f是可微函数，试证：
.

四、 （12分）求极限：.

五、 （12分）已知a,b为实数，且1<a<b,证明不等式：.

六、 (12分)计算曲面积分：其中S是球面的外侧.

七、 (10分)设,在[a,b]上连续，n=1,2,…,在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：在[a,b]上一致收敛于f(x).

2003年华南师范大学数学分析
一、 (12分)求极限
二、 (12分)设

三、 (12分)证明在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=在(0,+∞)上连续.

四、 (12分)求第二型曲线积分，其中，，取逆时针方向。

五、 (12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果和都存在(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。

六、 (15分)设关于一致收敛，而且，对于每个固定的，f(x,y)关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于一致地收敛于0.

2004年华南师范大学数学分析
1. (12分)设证明数列严格单调增加且收敛。

2. (12分)求函数的导函数，并讨论导函数的连续性。

3. (12分)求幂级数的收敛半径和收敛域。

4. (12分)求函数的Fourier级数，并由此求数列级数：
的和。

5. (12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b)，f(a)≠f(b)，证明：存在，使得。

6. (15分)是以为心，r为半径的球，是以M0为心，r为半径的球面，f(x,y,z)在R3上连续，证明：

2005年华南师范大学数学分析
一、 计算题（4*8=32分）
1. 求.
2. 求.
3. 求.
4. 求.其中,取逆时针方向。

二、 证明题（3*9=27分）
1. 证明：对；
2. 设，证明：；

3. 设f(x)在(0,1)上连续，，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.

三、 讨论题（2*8=16分）
1. 讨论级数的敛散性。

2. 设，讨论的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。

2006年华南师范大学数学分析
1. (15分)假设存在，试证明：.

2. (15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。

3. (15分)假设在[a,b]上连续，级数在(a,b)上一致收敛，试证明：
（i）,收敛； (ii)在[a,b]上一致收敛。

4. (15分)假设,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导数存在，但此点不可微。

5. (15分)计算曲面积分，其中s为锥面所示部分，方向为外侧。

2007年华南师范大学数学分析
1. (15分)证明数列收敛，并求其极限.

2. (15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x).
(1) .(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明；

(2) .(10分)只假定存在，证明.

3. (15分)求积分：.

4. (15分)判别函数列的一致收敛性.

5. (15分)设，求和.

6. (15分)利用和分部积分法求，其中a>0.

7. (20分)设L是平面区域的边界曲线，L光滑。u(x,y)在上二阶连续可微，用格林公式证明：.其中n是L上的单位外法向量，是u沿n方向的方向导数.

8. (20分)设f(x)的导函数在[0,1]上连续，且>0，证明瑕积分.当1<p<2时收敛，p2时发散.

9. (20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何，有证明：

2008年华南师范大学数学分析
一. (15分)设

二. (15分)设为有界集，证明必存在数列

三. (15分)设
(1) 证明若，则f在x处不连续；(2)计算.

四. (15分)设n为自然数，求不定积分的递推公式，并计算.

五. (20分)
(1) 设，证明

(2) 证明函数项级数在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.

六. (15分)求函数在位于圆处沿这圆周切线方向的方向导数（切线倾斜角）。

七. (15分)设有n个实数，证明方程中至少有一个根。

八. (20分)设收敛，证明函数上一致连续。

九. (20分)设，L是D的边界曲线，L取逆时针方向为正向。是L的外法线方向上的单位向量，F（P(x,y),Q(x,y)）是定义在D上的连续可微向量函数，计算极限：.

2009年华南师范大学数学分析
一、 (20分)

二、 (15分)设数列无上界。试证明存在的子列满足。

三、 (20分)设,求函数G(x)=f(x)-F(x)的导数，并判别函数G的单调性。

四、 (20分)求下列函数的偏导数或全微分：
1、 ；

2、 设函数f有一阶连续偏导数，求由方程f(x-y,y-z,z-x)=0所确定的函数z=z(x,y)的全微分。

五、 (15分)求圆锥面

六、 (20分)计算曲线积分经过上半椭圆。

七、 (20分)设正项级数
求证：1).。

八、 (20分)设是区间I上定义的函数族。若
，则称函数族在区间I上等度连续。
设函数列各项在[a,b]上连续，且在[a,b]上一致收敛于函数f(x),证明：函数列在[a,b]上等度连续。

2010年华南师范大学数学分析
1. 已知，求对y进行n阶求导得到的公式。

2. 已知，求p取不同值的敛散性。

3. 已知，求f(x)的值。

4. 在数列中，存在M>0时，，证明收敛。

5. 已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，g(x)在[a,+∞)上一致连续，存在，证明f(x)在[a,+∞)上一致连续。

6. f(x)在(-∞,0)上有
.

7. f(x)、g(x)在[a,+∞)上可微，当

8. f(x,y)在D内关于偏导数y连续，在D上存在且有界，求证f(x,y)在D上连续。

9. 已知一条封闭曲线L,n为它的外法向量,是任意方向的向量，求证

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