构造基本图形,突破思维瓶颈——一道世界团体锦标赛试题的解法探究.pdf

数学之友2023年第10 期构造基本图形,突破思维瓶颈解题探索一道世界团体锦标赛试题的解法探究初立艳（大连市普兰店区第十八中学，辽宁大连，116 0 3 3）摘要：基本图形是解决综合性几何问题的突破口，基本图形的性质是解决几何问题的重要工具.构造基本图形,利用基本图形的性质可以达到化难为易的效果.本文对第7 届世界团体锦标赛少年组团体赛第17 题的解法进行了深入研究，通过挖掘图形结构特征，构造直角三角形、等边三角形、全等三角形、相似三角形等基本图形，突破了解题的思维瓶颈，有利于培养学生几何推理能力,进而提升学生的几何素养.关键词：构造；基本图形；结构特征；思维瓶颈；解法令 AC=1,则 BD=AD=2,CD=/3,BC=2+/3.1试题呈现AC1所以 tan B=题目（第7 届世界团体锦标赛少年组团体赛BC2+/3第17 题)如图1,梯形ABCD中，乙A=ZADC=90,即 tan 15=2-/3.ZABD=15,ZC=45,CD=1,求梯形中位线的长.反之,若锐角满足tan=2-/3,则=15ABDC图1分析：本题是一道以直角三角形和直角梯形为基本图形的计算问题,欲求梯形ABCD中位线的长，只需求得线段AB的长即可.显然，线段AB是RtA BD 的一条直角边.在RtA BD 中，ZABD=15,则ZADB=75，无法直接求得线段AB的长.在BC D 中,ZC=45,ZBDC=15,CD=1,显然可利用45角构造直角三角形或利用15角构造3 0 角解决问题.本题综合性较强，对学生而言具有一定的难度.2解法探究思路1:利用15角的三角函数求解.解法1：如图2，在RtA BC 中，ZC=90,LABC=15，点 D在BC边上，且AD=BD，则ZADC=30.B74_数学之友一这是解决含15角的几何问题的一个重要结论.如图3,过点B作BECD,垂足为E.AD因为四边形 ABCD是梯形,所以AB/CD,所以ZBDC=ZABD=15.因为ZC=45,ZBEC=90,所以ZCBE=ZC=45,所以 BE=CE.令 BE=x,则 CE=x,DE=1-x.在RtBD E中，由三角函数的定义得tan Z BDE=BE即 tan 15=DE3-/3从而可得AB=DE=1-x=1-61以梯形ABCD的中位线长为(AB+CD)=2(3+/39+/3A2点评：由梯形的性质易知，乙BDC=乙ABD=15，DC图2BEC图3=2-/3,解得=1-x3-/3_ 3+/3，所66612又ZC=45,所以易想到构造BE工CD,然后利用直角三角形的边角关系求解.这种解法方法自然，思路数学之友顺畅,是学生易想到的方法.求解本题的难点是求15角的三角函数值,因此让学生理解求15角的三角函数值的方法是很有必要的.图2 是解决含15角的几何问题的基本模型.利用这一模型，可借助15角构造含3 0 角的直角三角形,然后利用直角三角形的性质求解.思路2：借助15角构造含3 0 角的直角三角形求解。解法2:如图4,过点B作BE1CD，垂足为E，在线段DE上取一点F,使BF=DF.ABDF图4因为四边形ABCD是梯形,所以AB/CD,所以ZBDC=LABD=15.因为 BF=DF,所以ZDBF=ZBDC=15,所以Z BFE=30.因为ZC=45,ZBEC=90,所以ZCBE=ZC=45,所以 BE=CE.令BE=x,则 CE=x,DE=1-x,DF=BF=2BE=2x,EF=1-3x.在Rt BEF 中，EF=BF-BE?V(2x)-x=/3x,所以 EF=1-3x=/3 x,解得x=13-/3所以 AB=DE=1-x=1-3+/363+/3所以梯形ABCD的中位线长为62(3+/39+/3CD)+126解法3:如图5,过点B作BECD,垂足为E,过点B作BFIBC,交CD于点F.过点D作DGIBF，垂足为G.易知ZDBF=30,ZBFC=45AB1DECG图5令BE=x,则EF=CE=x,DF=1-2x,DE=1-x,2023年第10 期2DG=(1-2x),BD=2DG=/2(1-2x).2在RtBD E中，由勾股定理得DE?+BE?=BD,即(1-x)+x=/2(1-2x),整理得 6 x-6x+1=0,3+/6解得x=（不合题意，舍去），22=663-/33+/3从而可得 AB=DE=1-x=1所以6613+梯形ABCD的中位线长为V3AB+CD229+/312EC_ 3-/36AB+123-/6点评：这两种解法借助15角构造含3 0 角的直角三角形,建立起了所求线段与已知条件之间的逻辑关系，然后利用直角三角形的性质解决问题,求解方法通俗易懂，计算量小，是解决含15角的几何问题的通性通法，具有普适性.由此可以看出,直角三角形的性质是解决与梯形有关的计算问题的常用工具.思路3：借助15角与45角构造等腰直角三角形和等边三角形求解.解法4：如图6，过点B作BE1CD,垂足为E,延长ADA,交CB的延长线于点G,D在线段CG上取点F,使BF=BD,连接 DF.由已知易得LABF=45,又ZABD=15，所以ZDBF=60，所以BDF是等边三角形，所以BD=DF.易知BDCF D G,所以FG=BC.令 BE=x,则 CE=x,FG=BC=/2x,DE=1-x.又因为 DC=DG=1,所以 CG=/2,所以 BD=BF=/2-2/2x.在RtBD E中，由勾股定理得DE?+BE?=BD，即(1-x)+x=(/2-2/2x),整理得 6 x-6x+1=0,3+/6解得x=（不合题意，舍去），x2=63-/33+/3得 AB=DE=1-x=1-所以梯形 ABCD663+/311的中位线长为一(AB+CD)26GF图63-/6从而可69+/326BE122023.10_75数学之友点评：这种解法根据图形结构特征，借助15角与45角巧妙构造等腰直角三角形和等边三角形，从而建立了所求线段与已知条件之间的逻辑关系，为问题解决提供了便利条件.这种解法过程简洁，思路清晰，是解决与梯形有关几何问题的常用方法.思路4：构造相似三角形,利用相似三角形的性质求解.解法5：如图7,过点B作BE1CD,垂足为E,过点C作CFIDB,交DB的延长线于F.FAB_-1一DEC图7因为四边形ABCD是梯形,所以 AB/CD,所以ZBDC=ZABD=15.因为F=90,所以ZDCF=75因为乙BCD=45,所以乙BCF=30.又因为ZBEC=90,所以ZCBE=BCE=45,所以 BE=CE./6CF:在Rt BD E中，BD=BE?+DE2二Vx2+(1-x)2=/2x-2x+1.由BDEC D F,得BDCF=BECD,即V24-2x+1.V6x=x.两边同时平方，整理得6 x-23+/66x+1=0,解得x=（不合题意，舍去），x2=63-/6.从而可得AB=DE=1-x=1-6以梯形ABCD的中位线长为2(3+/39+/312解法6:如图8,过点B作BEICD,垂足为E,在线段DE上取点F，使EBF=30，过点F作FG工DB,垂足为 G.令EF=x,则BF=2x,FG=2x,BE=EC=/3x,76_数学之友2023年第10 期ABG！DFEC图8DF=1-(/3+1)x.FGDF由DGFD EB,得即BEDB1-(V3+1)x,所以 DB=V3-(V3+3)DB2在RtBD E中，由勾股定理得DE?+BE?=BD?，2V3-16/3x2-(2/3+6)x+1=0,解得x二6，26（不合题意，舍去）.从而可得AB=DE=1-V3x=3+/3所以梯形ABCD的中位线长为一（AB+CD)=613+/326点评：解法5、解法6 是通过构造直角三角形，得到相似三角形,然后利用相似三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识解决问题，方法简单，思路清晰，但求解过程较为烦琐，计算量较大，容易出现计算失误.由此可以看出，相似三角形的性质也是解决与梯形有关计算问题的基本工具.3结束语基本图形是几何问题之源，是几何问题的题根，不论多么复杂的几何问题,其中肯定蕴含着常见的基本几何图形.因此，基本图形是解决综合性几何问题的突破口，基本图形的性质是解决几何问3-V/3_ 3+/3题的重要工具.在解决问题过程中，通过挖掘图形，所66(AB+CD)=6122xV3x3+V3129+/312结构特征，构造直角三角形、等边三角形、全等三角形、相似三角形等基本图形,突破了解题的思维瓶颈,得到了解决问题的多种方法，达到了化难为易的效果.在平时的教学中，教师不但要善于引导学生挖掘几何问题中蕴含的基本图形，而且要善于引导学生根据图形结构特征构造基本图形，培养学生利用基本图形解决问题的能力,并将其内化为学生的几何素养，使学生在遇到复杂的图形时可以找到解决问题的方法.