角平分线性质探究.doc

《角的平分线的性质》教学设计
教学目标：
知识与技能：掌握一个角的角平分线的画法；通过探究与证明理解角平分线的性质；灵活运用角平分线的性质解决问题；掌握证明几何命题的一般步骤.
过程与方法：学生通过由合情推理到演绎推理的过程培养严谨的数学思维，熟练几何证明的方法，体会知识的形成与运用.
情感态度与价值观：通过实物演示与动手操作，增强学生参与课堂的意识，提高学生学习数学的积极性。
教学重点：角平分线的性质及其应用
教学难点：角平分线性质的探究与证明
教法：实物演示法，讲授法
学法：自主探究，合作交流
教学过程：
一、 新课引入
同学们，老师手上是一个简易的平分角仪器，与课本上的图示同。我们用它可以画出一个已知角的角平分线。怎样操作的呢？请看：
已知这个仪器上的四个点组成的线段中，AB=AD，BC=DC，那么将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.
那同学们思考一下，为什么这样画出的AE就是角平分线呢？
学生思考，小组讨论，小组派代表发言.
学生经过观察老师的演示，根据已有的知识，可以想到将平分角仪器的工作原理转化为我们已经学习过的全等三角形的知识来解决问题。（体现转化的数学思想）
学生发言后，教师根据学生的回答，引导学生用全等三角形（SSS）的知识进行快速演示证明.
同学们，那根据这个仪器的工作原理，你能不能试一下如何用尺规作出一个已知角的角平分线呢？
学生思考，在草稿纸上用尺规演示，举手回答.
学生根据演示，可以联想到在角的两边确定等长度的线段OM、ON，再从M、N出发画出等长度线段MC、NC，交点C即为所求的角平分线上的点，连OC即可。
老师规范角平分线的尺规作法，即：
已知：
求作：的角平分线
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2） 分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于C.
（3） 画射线OC.射线OC即为所求.
学生通过观察演示，动手操作，可以更加连贯地掌握知识，学以致用.
画一画：课本P50练习T1
二、 新课讲授
（1）探究与猜想
同学们，我们作出的角平分线OC，那么在OC上任意取一点P，过点P作OA、OB的垂线，分别记为垂足D、E，测量PD、PE并作比较，你能得到什么结论？
学生在刚作好的角平分线上取点，并向两边作垂线，测量探究.
学生回答：
那在OC上再取几个点试一试.
学生取点，测量，探究.
学生回答：也是相等.
好，同学们，通过以上的测量，你们能不能猜想一下角平分线上的点有什么样的性质呢？
学生回答：我们猜想角平分线上的点的性质是，到两边距离相等.
老师引导学生完善这句话，即：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）几何证明
那么，经过的测量，比较，猜想我们得出了角平分线的一条性质，是不是所有的角平分线都具有这样的性质呢？我们需要进行严谨的几何证明才能下结论。那我们要证明什么呢？
所以首先，我们要弄清楚这个命题的题设和结论，也就是几何证明当中的“已知”与“求证”.显然，我们已知的是“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论是“这个点到这个角两边的距离相等”.
同学们，为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前先画出图形，并用符号表示已知和求证，也就是把文字语言转化为数学语言.
即：如图，，点P在OC上，，，垂足分别为D，E.求证.
证明： ，

在和中，

老师引导学生完成这一几何证明，感受几何证明的思路与步骤.
（3） 结论归纳：
①通过证明，我们确定了刚才的猜想，那么我们把它作为角平分线的性质，在以后的学习过程中可以加以运用：角平分线上的点到角两边的距离相等.
②引导学生回顾刚才的证明过程，总结归纳几何证明的一般步骤.学生思考后，小组交流，发言，老师整理学生的发言，用规范的语言表述为：
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即：
1、明确命题中的已知和求证；
2、根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
3、 学以致用
例：如图，的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB,BC,CA的距离相等.

老师引导学生分析思考，过点P作出三边的垂线，运用所学角平分线性质证明三个距离相等.
老师讲解完后，板书完整证明过程，加强学生对角平分线的性质以及几何证明的理解与运用.
引导学生归纳出运用角平分线性质常作的一条辅助线是过角平分线上的点向角的两边作垂线，得到线段相等解题.
学生理解后，独立完成课后练习第二题的证明.
三、课堂检测
学生完成课后习题12.3的1.2.3题.
四、 板书设计
12.3 角的平分线的性质
角的平分线的尺规画法 角平分线性质的证明 例题板演

五、 课后小结
（1） 角的平分线有什么性质？在运用这一平分线时常用的辅助线是什么？
（2） 怎样用尺规画出一个已知角的角平分线？
（3） 一般情况下，证明几何命题有哪些步骤？
六、 布置作业
（1） 完成习题12.3
（2） 思考：要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处？