角的平分线性质探究.doc

新人教版八年级上册第12章全等三角形
第3节角的平分线的性质探究
教学目标:
知识技能:会作已知角的平分线，能熟练地说出角平分线的性质及判定.能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等.
数学思考:学会利用已有的知识进行新问题的探索和思考.通过探究角平分线性质，让学生从实践到论证进行转变.
解决问题:经历画角的平分线的过程，能正确地进行画图.经历折叠图形的过程，分析折叠过程，总结出角的平分线的性质.
情感态度:体会知识点之间的紧密联系,形成优良学习习惯和态度.
教学重点:角平分线的性质及判定；运用它们来证明两个角相等或两条线段相等.
教学难点:运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等.
教学内容:课本第19至21页.
教学过程设计:
活动一.复习提问,引入新课.
1.角平分线的定义？角平分线与三角形的角平分线有何区别？
2.回顾三角形全等的判定定理．
活动二.探索角平分线的画法.
1.观察思考.图11.3-l是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗?

2.小组讨论.
①∠DAC与∠BAC相等的依据是什么？
②如何做一个角的平分线？能否由以上的探究得出呢？
3.通过小组讨论由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法．
4.动手画图.已知:∠AOB．求作:∠AOB的平分线．
作法:（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N.
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）作射线OC．射线OC即为所求（图11.3-2）．
5.练习.
平分平角∠AOB．通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD．直线CD与直线AB是什么关系?
应用以上学到的画角的平分线的方法，来画出平角的角平分线（平角只是一种特殊的角），回顾线段的垂直平分线的定义.进而回答直线CD与直线AB的关系.
活动三.探索发现角平分线的性质.
1.小组讨论.
（1）有一张剪好的角的纸片，怎样找这个角的平分线？
（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线（如图11.3-3）．如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕（如如图11.3-3中的PD和PE）．不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对，由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他的性质，现在我们就来研究这个问题．
2.角的平分线.
（1）上述折纸的实验，如如图11.3-3中的等长折痕PD和PE，我们可以找到无数对，它们既有一般位置的，也有特殊位置的．比如，角平分线上的点到角两边的垂线就是特殊位置的等线段．你能用推理论证的方法说明“在角平分线上的点到这个角的两边距离相等”这一角平分线的重要性质吗？
O
A
B
O
B
A
E
D
P
图11.3-3

3.得到角的平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
4.小组讨论
(1).在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相离”的点吗？为什么？
(2).角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？
5.思考
如图11.3-4，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）?

我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
小组讨论:到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?
6.利用三角形全等，可以得到定理:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何处了．
活动四.知识应用,例题解析.
例.如图11.3-5，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证:点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD＝PE．
同理PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF．
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
小组讨论:点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
活动五.知识巩固,课堂练习.
1.如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P．求证:点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．

2.课本第22页第1,2题.
活动六.知识梳理,课堂小结.
引导学生回顾本节的主要知识点和相应的知识应用.
活动七.知识反馈,作业布置.
课本第22至23页第3,4,5,6题.
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