全等三角形导学案.docx

第三课时 13.2.1-2全等三角形及其性质
一.学习目标：理解全等三角形、对应边、对应角的概念，理解全等三角形的性质.感知如何提出问题，分类讨论；培养合作的精神，体验分类的数学思想.
二.课前导学：（教材P59－61）
1. 全等三角形的定义：能够完全_________的两个三角形是全等三角形，全等用“≌”表示，读作“全等于”. 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上.
2. 全等三角形的性质： .
3. 全等三角形的判断条件：我们把两个三角形对应的“三条边与三个角”称为六个对应元素.
两个三角形只有一组元素分别对应相等，这两个三角形________ ____.
两个三角形有两组元素分别对应相等，这两个三角形_______ _____.
两个三角形有三组元素分别对应相等，这两个三角形能否全等呢？__ ____.
三.课中导学
例1.已知：△ABD≌△CDB，写出它们的六组对应元素.

变式训练.如图，已知△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长.

例2. 如图所示，已知△ACE≌△DBF，点A、B、C、D在同一条直线上，且AE=DF，CE=BF，AD=8，BC=2. （1）求AC的长； （2）求证：CE∥BF.

变式训练. 如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)试说明：BD=DE+CE. (2) △ABD满足什么条件时，BD∥CE？说明理由.

四.达标检测
1. 下列说法正确的是____________. ①边长相等的两个正方形全等 ②三个角都相等的两个三角形全等 ③面积相等的两个三角形全等 ④两个全等三角形的面积相等
2. 如图，已知△AOD≌△BOC，∠O＝700，∠C＝250，
则∠OAE=_________.
3. 如图所示，△ABC≌△DEF，AB=DE，∠A=∠D，找出图中的所有相等的线段与角.

4. 如图，已知△ADB≌△ACE，∠E＝400，∠C＝200，求∠DAB的度数.

5. 如图，正方形ABCD中，E是正方形AD边上的一点，F是BA延长线上的一点，且AF＝AE，已知△ABE≌△ADF.
(1)可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE与△ADF完全重合？
(2)指出图中线段BE与DF之间的关系，并说明理由.

五.课后反思
第四课时 13.2.3全等三角形的判定(SAS)
一.学习目标： 经历“两个三角形两边及夹角对应相等时两三角形全等”的探索过程，训练学生动手能力.
掌握全等三角形的判定方法（S.A.S.），会进行全等的简单推理.
二.课前导学（教材P62－65） 探究：两边及其夹角对应相等时两个三角形能否全等.
两个同学为一个小组：画△ABC，使AB=3cm，AC=4cm，∠A=45°.
画△ABC的画法： 1. 画∠MAN= 45°. 2. 在射线AM上截取AB= 3cm. 3. 在射线AN上截取AC=4cm. 4.连接BC. ∴△ABC就是所求的三角形. 把自己画出来的三角形剪下来与另一个同学进行比较，它们互相重合吗？ 得出的结论是：______________________.
由此我们得到一个基本事实：__________________________________. 简记成：S.A.S（或边角边.）.

几何符号语言：(示范)
在△ABC和△DEF中：

∴△ABC≌△DEF（S.A.S）

三.课中导学
1. 例1.如图所示，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.
求证：△ABD≌△ACD.

变式训练.如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE. 求证：△ABE ≌△DCE.

2. 例2、如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2. 求证：△ABD≌△ACE.

变式训练.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上. 求证：BE=AD.

四.达标检测
1. 如图所示，AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF. 求证：△AFD ≌△CEB.

4. 如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC. (1) 请问图中有那几对全等三角形？并把它们写出来.
(2) △EFC与△BCF全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由.

4. 如图，有两棵大树A和B中间有高大的建筑物遮挡，请你用三角形全等的知识测量出A、B之间的距离. 设计出测量方案，画出示意图，并说明其中的道理（即给出证明过程）.

五.课后反思
第五课时 13.2.4全等三角形的判定(ASA)
一.学习目标：通过自主探索，进一步掌握三角形全等的条件.能运用“A.S.A.”的方法进行三角形全等的判定.
二.课前导学：（教材P66－67） 探究：两角及其夹边对应相等时两个三角形能否全等.
两个同学为一个小组：以600和450两个角为三角形的内角，以3cm长的线段为这两个角的夹边，画一个三角形．
把自己画出来的三角形剪下来与另一个同学进行比较，它们互相重合吗？ 得出的结论是：______________________.由此我们得到一个基本事实：_________________________________________. 简记成：角边角（或A.S.A .）.

几何符号语言：

三.课中导学
1. 例1.如图：D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：AD＝AE．

变式训练. 如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，试说明：AC＝DB.

2. 例2. 如图，AB、CD相交于点O，△AOC≌△BOD，CE∥DF，求证：CE＝DF.

变式训练.如图所示，∠1=∠2，∠B=∠ADE，AB=AD，求证：BC=DE.

四.达标检测
1.如下图，一块玻璃被打碎成了三块，要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是带第_______块去，理由是______________________________.
2. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4 ， 求证：AC=AD

3 如图，等边△ABC中，在顶点A、C处各有一只蚂蚁，它们同时出发，分别以同样的速度由A向B和由C向A爬行，经过t秒后，它们分别到达D、E两处. 请问两只蚂蚁在爬行过程中：（1）CD与BE有何数量关系？说明理由.（2）CD与BE相交所成的∠BFC的大小是否发生变化？若有变化，说明理由；若没有变化，求出∠BFC.

4. 如图，已知正方形ABCD，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.
(1)求证：AE＝CF. (2)若∠ABE=550，求∠EGC的大小.

五.课后反思
第六课时 13.2.4全等三角形的判定(AAS)
一.学习目标：通过，自主探索，进一步掌握三角形全等的条件.能运用“A.A.S.”的方法进行三角形全等的判定.
二.课中导学：（教材P67－68） 探究：两角及一角的对边对应相等时两个三角形能否全等
如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？ 已知：如图，△ABC和△DEF中，BC＝EF，∠A＝∠D，∠C＝∠F. △ABC和△DEF能否全等？说明理由. （提示：利用三角形的内角和，转化为A.S.A来说明）

解:

得出的结论是：_______.由此我们得到定理：____________ ________. 简记为：“A.A.S.”（或“角角边”）.

几何符号语言：

三.课中导学
1. 例1.如图所示，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，EF⊥AB于F，且AB=DE. （1）求证：BD=BC； （2）若BD=8cm,求AC的长.

变式训练. 如下图，直线l过正方形ABCD的顶点B、A，点C到直线l的距离分别是AE＝1，CF＝2，求EF的长.

2. 例2、如图，AB∥CD，CE、BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上. 求证：BC=AB+CD.

变式训练. 如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠D＝900，点A、E、C、F共线，AE＝CF，BC的延长线交DF于点M，∠MCF＝∠F. 求证：BC＝DF.

四.达标检测
1. 如图，∠B＝∠ACD，∠ACB＝∠D＝900，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD. 你认为这种说法正确吗？如果不正确，请说明理由.

2. 如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝900，BD平分∠ABO，AE ⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD＝2AE.

3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF过AC的中点O，分别交AD、BC于点E、F.
(1)求证：OE＝OF； （2）若直线EF绕点O旋转一定角度后，与AD、BC分别交于点E＇、F＇，O E＇＝O F＇仍然成立吗？为什么？ （3）EF绕点O旋转到何处时，线段EF最短？

五.课后反思
第七课时 13.2.1-4全等三角形的判定练习课(SAS、ASA、AAS)
一.学习目标：通过练习，进一步熟练运用已学的判定三角形全等的方法(SAS、ASA、AAS)解题，提高学生分析和解决问题的能力，训练学生推理能力，训练学生用规范几何语言书写证明过程的良好习惯.
二.知识点回顾：（教材P69－70）
1. 全等三角形的性质：_______________________________________________________.
2.“SAS”用文字叙述为_________________________________________________________.
“ASA”用文字叙述为_________________________________________________________.
“AAS”用文字叙述为_________________________________________________________.
3. 求证：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC≌△A＇B＇C＇， AD、A＇D＇分别是△ABC和△A＇B＇C＇的边BC、B＇C＇上的高. 求证：AD＝A＇D＇.

4. 类似地，我们可以证明：全等三角形对应边上的中线和角平分线也相等.
三.典型例题
例题. 如图，AD是△ABC中BC边上的中线. 试说明：
AD ＜（AB＋AC）.

变式训练1. 如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是多少？（提示：用“倍长中线法” 构造全等三角形.）

变式训练2.在△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连结EG、EF. (1)求证：BG＝CF； （2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

四.综合训练
1. 如图, △ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝900，点B、C、D在同一直线上. 求证：BD＝CE.

2. 如图，在四边形ABCD中，点E是AC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
求证：∠5＝∠6.

如图(1)，△ABC中，∠BAC＝900，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E. (1)求证：BD＝CE+DE； (2)若直线AE绕点A旋转到如图（2）所示的位置（BD＜CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的数量关系如何？请予以证明； (3) 若直线AE绕点A旋转到如图（3）所示的位置（BD＞CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明； (4)根据以上的讨论,请用简洁的语言表达BD与DE、CE的数量关系.

五.课后反思
第八课时 13.2.5全等三角形的判定(SSS)
一.目标导学：通过动手实践，学生自主探索出全等三角形的条件“S.S.S.”，能结合图形准确表达三角形全等. 能运用“S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.、S.S.S”的方法进行三角形全等的判定.
二.课前导学：（教材P59－61） 探究：三条边对应相等时两个三角形能否全等
两个同学为一个小组：画△ABC，使三角形的三边分别为3cm、4cm、5cm. 画△ABC的画法：1. 画射线AM.； 2. 在射线AM上截取AB= 3cm； 3. 以点A为圆心，4cm为半径出弧；
4. 以点B为圆心，5cm为半径出弧；两弧交于点C； 5. 连接AC、BC.
∴△ABC就是所求的三角形. 把自己画出来的三角形剪下来与另一个同学进行比较，它们互相重合吗？ 得出的结论是：_______________.
由此我们得到基本事实： __________________________________. 简记为：“S.S.S.”（或“边边边”）.
★注意：两个三角形的三个角分别对应相等时，这两个三角形 .

几何符号语言：

三．课中导学
例1、如图，△ABC中，AD＝AE，AB＝BE＝CD＝AC.
求证：（1）△ABD≌△ACE；(2). ∠BAD=∠CAE.

2. 例2、如图所示，点B、E、C、F、在同一直线上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，
AC和DE相交于点G，试说明：∠EGC=∠D.

四.达标训练
1. 已知△ABC中，AB=AC，AD是中线，求证：∠BAD=∠CAD.

2. 如图，在△ABC与△DCB中，AB=DC，AC=BD，AC与BD交于M.求证：BM=CM.

3. 已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：AD∥BC.

4. 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C. 求证：AB+BD＝AC.
(提示：用“截长补短法”构造全等三角形. )

5．如图，AD=CB，E、F是AC上两动点，且有DE=BF.（1）若E、F运动至如图1所示的位置，且有AF=CE，求证：△ADE≌△CBF.源:学]（2）若E、F运动至如图2所示的位置，仍有AF=CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ （3）若E、F不重合，仍有AF=CE ，DE和BF平行吗？说明理由.
图1图2

五.课后反思
第九课时 13.2.6直角三角形全等的判定(H.L.)
一.学习目标：通过画图，理解判定两个直角三角形全等的条件“H.L.”，并能运用“H.L.” 判定两个直角三角形全等；了解特殊与一般的关系，培养辩证的思维方法；会综合用各种方法判定两个直角三角形全等.
二.课前导学：（教材P73－75）
1.判定三角形全等的方法有____________________________________________________.
2. 自主探究： 两个同学为一个小组：画直角△ABC，使它的一条直角边长为2cm，斜边长为4cm.
把自己画出来的三角形剪下来与另一个同学进行比较，它们互相重合吗？ 得出的结论是：____________. 由此我们得到专门用于判定两个直角三角形全等的定理： _________________________________________. 简记为：“H.L.”（或“斜边直角边”）.
几何符号语言：
在Rt△ABC和Rt△DEF中,

∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF(_______)

三.课中导学
例1、如图，AB⊥BD，CD∥AB，AB=CD，点E、F在BD上，且AE=CF.试说明AE∥CF.

变式训练.如图，AC⊥AD,BC⊥BD,OE⊥CD，AC=BD，求证：DE=CE.

例2如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于点E，
DF⊥EF于点F，BE=DF. 求证：Rt△BCE ≌ Rt△DCF.

D
C
B
A
E
M
变式训练. 已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC， B、C分别是垂足，DE交AC于M，AC=ED，AB=EC，DE与AC有什么位置关系？请说明理由.

四.达标检测
1. 如图，∠ACB=∠CFE＝90°，AB=DE，BC=EF，试说明：AD=CF.

2.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且BC＝AD. 求证：CE=DF.

3.已知，如图AB＝AC，AD＝AE，AP⊥BD，AQ⊥CE，垂足分别为P、Q.
求证：AP＝AQ.

五.课后反思
第十课时 13.2.2－6全等三角形综合练习课
一. 学习目标：教给学生灵活选用各种方法判定三角形全等，能用全等的方法证明线段（或角）相等，引导要善于归纳总结，提高学生综合运用知识的能力和逻辑思维能力.
二.知识点回顾：（教材P59－61）
1. 证明三角形全等的方法有：____________________________________________________.
2. 证明三角形全等的一般思路：
(1)已知两角对应相等时，可再找两角的夹边，用_____证明；也可再找其他对应边，用______证明.
(2) 已知两边对应相等时，可再找两边的夹角，用______证明；也可再第三边相等，用______证明.
(3) 已知一边一角对应相等时，可根据不同情况分析，再找_______________，用S.A.S.证明；也可再找____________，用A.S.A.或A.A.S.证明.
(4)如果是直角三角形，除了用以上的方法外，还可以用Rt△特有的方法___________来证明.
三.典型例题
例1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

例2.如图，在△ABC中，∠B＝600，∠BAC、∠ACB的平分线AD、CE交于点F，试猜想AE、CD、AC三条线段之间的数量关系，并加以证明.

例3.如图1在△ABC中，BC＝AC，在△CDE中，CE＝CD，且∠BCA＝∠ECD，连结BE，AD.
(1)求证：BE＝AD； （2）若将△DEC绕点C旋转至如图2、3所示的情况，其余条件不变，BE与AD还相等吗？选择一种情况证明.

四.综合训练
1. 如图，AC＝BC，AD＝BD，点E、F分别是AC、BC的中点，试说明：DE＝DF.

2. 如图，已知：∠A＝90°， AB=BD，ED⊥BC于 D. 求证：AE＝ED.

3. 如图，点E在直线AC上，ED⊥CD于点D，EB⊥CB于点B，且CD＝CB.
求证：AD＝AB.

4．如图，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，求∠BOC度数．

5．如图，已知，．求证：．

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五.课后反思