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解直角三角形的应用
【知识要点】
1．解直角三角形的应用题中常见的有关概念：
（1）仰角与俯角。它们都是在同一铅垂面内视线和水平面的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。
（2）坡角与坡度。
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角。
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示，即，坡度一般可写成：l:m的形式，如（即），坡度与坡角有如下关系：。
2．仰角、俯角
 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角
α
l
h
叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角
．

3. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三
角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
4．方向角、方位角
①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫方向角，
如右图，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东，北偏西，
西南方向，南偏东．
②方位角：从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水
平角，叫方位角．
东
南
西
北
B
A

C
D

【典型例题】
例1．如图所示，已知在湖边高出水面50米的山顶望湖面上空有
A
B
P
M
N
P′
一艘飞艇，仰角，又观其在湖中之像，俯角，求飞艇对于
湖面的高度．

例2. 在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD=45°，在距离A点30米的B处测得∠CBD=30°，求河宽CD（结果可带根号）。
D
A
B
C
45°
30°

B
C
D
F
A
E

例3.为响应深圳市人民政府“形象重于生命”的号召，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30米的宣传条幅在乙建筑物的顶点D点测得条幅顶端A点的仰角为45°，测得条幅底端E点的俯角为30°，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离BC（答案可带根号）。

例4．在高出海平面200m的灯塔顶端，测得正西和正东的两艘船的俯角
分别是45°和30°，求两船的距离。

例5． 如图，一艘货船以30km/h的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的
北偏西30°，20min后货船行至B处，看见灯塔C在船的北偏西60°，若货船向
北继续航行，当灯塔C在船的正西方向时，灯塔与货船相距多少千米？
60°
30°
C
A
B
D
N

【经典练习】
1．如果坡度的余弦值为，那么坡度为（ ）
A． B． C．1:3 D．3:1
2．如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，那么由点B测点A的方向为（ ）
B
C
D
A
a
α
β
A．北偏东15° B．北偏西75° C．南偏西15° D．南偏东75°
3．如图，两建筑物的水平距离为a米，从A测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（ ）
A．α米 B．acotα米
C．acotβ米 D．a（tanβ－tanα）米
A
B
D
C
4．已知楼房AB高50米（如图），铁塔塔基距楼房房基水平距离BD为50m，塔高DC为，下列结论中，正确的是（ ）
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
A
B
C
5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15m的C处（AC⊥AB），测得∠ACB=50°，则A、B间的距离为（ ）
A．15 sin50°m B．15 cos50°m
C．15 tan50°m D．15 cot50°m
6．从点A看点B的俯角为48°30′，那么从B点看A点的仰角为（ ）
A．48°30′ B．41°30′
C．12°30′ D．48°30′或41°30′
A
B
C
D
7．如图，由山顶A望地面C、D两点的俯角分别为40°、30°，若CD为100m，那么山高AB等于（ ）
A．100m B．m C．m D．m
B
A
C
C′
8．如图，一台起重机，它的机身高AB为20m，吊杆AC的长度为36m，吊杆对水平线的倾角可以从30°旋转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（ ）
A．（36＋20）m，（36·tan30°）m
B．（36·sin30°＋20）m，（36·cos30°）m
C．（36·sin80°）m，（36·cos30°）m
D．（36·sin80°＋20）m，（36·cos30°）m
A
B
D
C
E
130°
40°
9．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=130°，BD=520m，∠D=40°，那么使A、C、E成一直线，开挖点E离D的距离是（ ）
A．520 sin50°m B．520 cos50°m
C．520 tan50°m D．520 cot50°m
10.中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A的正切值 .
11．已知为锐角，且，则= 度.
12.如图1,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且夹角为,则重叠部分的面各为 .

A
B
C
D
N
M
图2
图1

13.如图2，在正方形ABCD中,N是DC中点,是AD上异于D的点且,则
= .
14．如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 米.（精确到0.1米

A
C
B
D
·
15．如图，客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A-B-C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍，则两船相遇之处E点。（ ）
A．在线段BC上 B．在线段AC上
C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上

A
B
D
45°
东
北

16．由于过度采伐森林，和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向正西北方向转移，距沙尘暴中心300km的范围内将受影响，问A市是否会受这次沙尘暴影响？

17.如图，湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后，自C处沿BC方向行100m至D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物AB的高。
A
B
C
D

【大展身手】
1．如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电引杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时测得1m杆的影子为2m，则电线杆的高度约为__________m。

B
C
D
A

2．在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD=45°，在距离A点30米的B处测得∠CBD=30°，求河宽CD（结果可带根号）。

D
A
B
C
45°
30°

A
B
C
P

2． （选做）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，AB=2，,∠A>∠B,点P在斜边AB上，连结PC。（1）求tanA，tanB的值；(2)设AP=x，，试用含x的代数式表示y。