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第三章习题答案
1. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。
解：1）用梯形公式有：
事实上，
2）Simpson公式
事实上，
3）由Cotes公式有：
事实上，
2．证明Simpson公式具有三次代数精度。
证明：
而当时
左侧：
右侧：
左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.
(1)，（3），
解：（1）用复化梯形公式有：
，由复化Simpson公式有：
解：删去
解（3）： 由复化梯形公式有：
由复化公式有：
（4）解：
由复化梯形公式：
由复化Simpson公式：
4．给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，并写出它的截断误差。
解：
考虑到对称性，有，于是有求积公式
由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。事实上，对原式左右两端相等：
此外，容易验证原式对不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。
5．给定积分。
（1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过
（2） 取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？
（3） 如果要求截断误差不超过，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？
解：(1)
=,
当误差时，25.6, 所以取=26。
（2）
6．用Romberg求积方法计算下列积分，使误差不超过。
（1）；（2）；（3）;(4)
解（1）：
计算可以停止。
解（2）：
（3）解:
解（4）:
7．推导下列三种矩形求积公式：
证明：将在处Taylor展开，得
两边在上积分，得
将在处Taylor展开，得
两边在上积分，得
将在处Taylor展开，得
两边在上积分，得
8．如果证明用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
证明：复化梯形公式为
若在上连续，则复化梯形公式的余项为
由于且
所以使
则(1)式成为：
又因为所以
即用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大。
其几何意义：曲线在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。
9．对构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。
解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。如果在上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为：
其中系数为
同理求得
即有：
10．判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：
解：插值型求积公式
其中
则
因此，是插值型的求积公式。
因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。
对于时，
可见它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
11．构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度：
解（1）：令原式对于准确成立，于是有
解之得 ， 于是有求积公式
容易验证，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
解（2）：令原式对于准确成立，于是有
解之得 于是有求积公式
容易验证当时，而
可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。
解(3)：令原式对于准确成立，于是有
解得:
于是有求积公式
容易验证，当时，而
可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。
12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式：
解（1）：令原式对于准确成立，于是有
利用的第1式，可将第2式化为
同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
由式消去得
进一步整理
由此解出
解得：
因此所求的两点Gauss求积公式：
或依下面的思想：
解（2）：令原式对于准确成立，于是有
利用的第1式，可将第2式化为
同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
由式消去得
进一步整理
由此解出
解得：
因此所求的两点Gauss求积公式：
或依下面的思想：
13．分别用三点和四点Gauss－Chebyshev求积公式计算积分，并估计误差。
解：用三点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：
此时，
由公式可得：
由余项可估计误差为
用四点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：
此时，
由余项可估计误差为
14．用三点求积公式计算积分，并估计误差。
解：作变换则得
由三点Gauss-Legendre公式：
其估计误差为：
,（）。其准确值
其准确误差等于：
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