资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．我们知道：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直，如图，已知直线l和l外一点A，用直尺和圆规作图作直线AB，使AB⊥l于点A．下列四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（ ）
A．5 B．6 C．2 D．3
4．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为(2，0)，若抛物线 (n 为常数)与扇形 OAB 的边界总有两个公共点则 n 的取值范围是( )
A．n>-4 B． C． D．
8．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点. 寸，寸，则可得直径的长为（ ）
A．13寸 B．26寸
C．18寸 D．24寸
9．一元二次方程（x+2）（x﹣1）＝4的解是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝2，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）
A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4
11．⊙O的半径为15cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=18cm，则AB和CD之间的距离是（ ）
A．21cm B．3cm
C．17cm或7cm D．21cm或3cm
12．某闭合并联电路中，各支路电流与电阻成反比例，如图表示该电路与电阻的函数关系图象，若该电路中某导体电阻为，则导体内通过的电流为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为_____．
14．如图，在△ABC中，点DE分别在ABAC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6.则线段CD的长为______
15．如图，一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为______米．
16．高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．
17．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_
18．如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)．
三、解答题（共78分）
19．（8分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中________，________，样本成绩的中位数落在证明见解析________范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在范围内的学生有多少人？
20．（8分）在中， ， 记，点为射线上的动点，连接，将射线绕点顺时针旋转角后得到射线，过点作的垂线，与射线交于点，点关于点的对称点为，连接.
（1）当为等边三角形时，
① 依题意补全图1；
②的长为________；
（2）如图2，当，且时， 求证：；
（3）设， 当时，直接写出的长. （用含的代数式表示）
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
（1）求证：∠A=∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
22．（10分）已知正比例函数y=-3x与反比例函数y= 交于点P(-1,n),求反比例函数的表达式
23．（10分）如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（-1，0）．过点A作直线y=x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y=x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）.
（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；
（2）点 E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E 的坐标；
（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．
24．（10分）为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．
25．（12分）（1）计算.sin30°tan45°－cos30°tan30°＋sin45°tan60°
（2）已知cos(180°﹣a)=﹣cosa，请你根据给出的公式试求cos120°的值
26．在精准脱贫期间，江口县委、政府对江口教育制定了目标，为了保证2018年中考目标的实现，对九年级进行了一次模拟测试，现对这次模拟测试的数学成绩进行了分段统计，统计如表，共有2500名学生参加了这次模拟测试，为了解本次考试成绩，从中随机抽取了部分学生的数学成绩x（得分均为整数，满分为100分）进行统计后得到下表，请根据表格解答下列问题：
（1）随机抽取了多少学生？
（2）根据表格计算：a＝ ；b＝ ．
分组
频数
频率
x＜30
14
0.07
30≤x＜60
32
b
60≤x＜90
a
0.62
90≤x
30
0.15
合计
﹣
1
（3）设60分（含60）以上为合格，请据此估计我县这次这次九年级数学模拟测试成绩合格的学生有多少名？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据垂线的作法即可判断．
【详解】观察作图过程可知：
A．作法正确，不符合题意；
B．作法正确，不符合题意；
C．作法错误，符号题意；
D．作法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图、垂线，解决本题的关键是掌握作垂线的方法．
2、C
【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数定义求解．
【详解】解：在直角△ABC中，AB===5，
则sinA==．
故选C．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3、C
【详解】试题解析：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
∴AB•DH=32O，
∴DH=16，
在Rt△ADH中，AH==12，
∴HB=AB﹣AH=8，
在Rt△BDH中，BD=，
设⊙O与AB相切于F，连接AF．
∵AD=AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴，
∴，
∴OF=2．
故选C．
考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．
4、B
【分析】根据抛物线的顶点式：，直接得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：由抛物线为：，
抛物线的顶点为：
故选B．
【点睛】
本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
5、B
【解析】根据合并性质解答即可，对于实数a，b，c，d，且有b≠0，d≠0，如果，则有.
【详解】，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，熟练掌握合比性质是解答本题的关键.合比性质：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比.
6、C
【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；
当方程为一元一次方程时，k=1；
是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥1．
【详解】当k=1时，方程为3x-1=1，有实数根，
当k≠1时，△=b2-4ac=32-4×k×（-1）=9+4k≥1，
解得k≥-．
综上可知，当k≥-时，方程有实数根；
故选C．
【点睛】
本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．
7、D
【分析】根据∠AOB＝45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的n值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的n的值，即为一个交点时的最小值，然后写出n的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，∠AOB＝45°，
∴直线OA的解析式为y＝x，
联立得：，
，得时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
∴点A的横坐标与纵坐标均为：，
∴点A的坐标为（），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时，，解得n=-4，
∴要使抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，
则实数n的取值范围是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．
8、B
【分析】根据垂径定理可知AE的长．在Rt△AOE中，运用勾股定理可求出圆的半径，进而可求出直径CD的长．
【详解】
连接OA，
由垂径定理可知，点E是弦AB的中点，
设半径为r，由勾股定理得，
即
解得：r=13
所以CD=2r=26，
即圆的直径为26，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法，熟练掌握相关性质是解题的关键.
9、B
【解析】解决本题可通过代入验证的办法或者解方程．
【详解】原方程整理得：x1+x-6=0
∴（x+3）（x-1）=0
∴x+3=0或x-1=0
∴x1=-3，x1=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法．把方程整理成一元二次方程的一般形式是解决本题的关键．
10、C
【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．
11、D
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE=AB=12cm，CF=CD=9cm，接着根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出OE=9cm，在Rt△OCF中计算出OF=12cm，然后分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE．
【详解】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE=BE=AB=12cm，CF=DF=CD=9cm，
在Rt△OAE中，∵OA=15cm，AE=12cm，
∴OE=，
在Rt△OCF中，∵OC=15cm，CF=9cm，
∴OF=，
当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE=12+9=21cm（如图1）；
当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE=12-9=3cm（如图2）；
即AB和CD之间的距离为21cm或3cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
12、B
【分析】电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，可设I=，根基图象得到图象经过点（5，2），代入解析式就得到k的值，从而能求出解析式．
【详解】解：可设，
根据题意得：，
解得k=10，
∴．
当R=4Ω时，
（A）．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数的应用，利用待定系数法是求解析式时常用的方法．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：a＝1，
经检验：a＝1是分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的知识点是事件的概率问题，弄清题意，根据概率公式列方程求解比较简单.
14、
【分析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出CD的长度．
【详解】设AD＝2x，BD＝x，
∴AB＝3x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴DE＝4，，
∵∠ACD＝∠B，
∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠ACD，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
设AE＝2y，AC＝3y，
∴，
∴AD＝y，
∴，
∴CD＝2，
故填：2.
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
15、1.95
【分析】以点B为原点建立直角坐标系，则点C为抛物线的顶点，即可设顶点式y＝a（x−0.8）2＋2.4，点A的坐标为（0，1.6），代入可得a的值，从而求得抛物线的解析式，将点D的横坐标代入，即可求点D的纵坐标就是点D距地面的高度
【详解】解：
如图，以点B为原点，建立直角坐标系．
由题意，点A（0，1.6），点C（0.8，2.4），则设顶点式为y＝a（x−0.8）2＋2.4
将点A代入得，1.6＝a（0−0.8）2＋2.4，解得a＝−1.25
∴该抛物线的函数关系为y＝−1.25（x−0.8）2＋2.4
∵点D的横坐标为1.4
∴代入得，y＝−1.25×（1.4−0.8）2＋2.4＝1.95
故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米
故答案为1.95.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
16、1
【分析】根据同一时刻物体的高度与影长成比例解答即可．
【详解】解：设此建筑物的高度为x米，根据题意得：，解得：x=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行投影，属于基础题型，明确同一时刻物体的高度与影长成比例是解题的关键．
17、-2
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=1，然后根据反比例函数所在的象限确定k的值．
【详解】∵△POM的面积等于1，∴|k|=1．
∵反比例函数图象过第二象限，∴k＜0，∴k=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
18、
【详解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=CD=60m，
在Rt△ABD中，
AB=AD•sin∠ADB=60×=(m).
故答案是：.
三、解答题（共78分）
19、（1）8，20，；（2）见解析；（3）200人
【分析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；
（2）根据b的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人．
【详解】（1）由统计图可得，
a＝8，b＝50−8−12−10＝20，
样本成绩的中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，
故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；
（2）由（1）知，b＝20，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）（人）
答：估计该年级学生立定跳远成绩在范围内的学生有200人．
【点睛】
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20、（1）①见解析，②. （2）见解析；（3）.
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②根据旋转的性质和对称的性质易证得，利用特殊角的三角函数值即可求得答案；
（2）作于，于，证得四边形是矩形，求得，再证得，求得，再求得，即可证得结论.
（3）设则，证得，求得，再作DM⊥AB，PN⊥DQ，利用面积法求得，继而求得，再证得，求得，根据得，即可求得答案.
【详解】（1）解：①补全图形如图所示：
②∵为等边三角形，
∴，，
根据旋转的性质和对称的性质知：，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
在中，，
∴，
∴.
（2）作于，于，
∵，
∴，
由题意可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，关于点对称，
∴，，
∴，
∴为中点，
∴垂直平分，
∴；
（3）∵，AC⊥BD，
∴，
设则，
∵AC⊥BD，AP⊥AD，
∴∠ACB=∠PAD，
又∵∠ABC=∠PDA，
∴，
∴，
∴，
∴，
作DM⊥AB，PN⊥DQ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵∠AB=∠PDA，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，构造出全等三角形、相似三角形、直角三角形是解本题的关键．
21、（1）见解析；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）连接OC，由D为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理得到AE∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，从而得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵D为的中点，
∴，
∴∠BOD＝∠BOC，
由圆周角定理可知，∠BAC＝∠BOC，
∴∠A＝∠DOB；
（2）解：DE与⊙O相切，
理由：∵∠A＝∠DOB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
22、.
【分析】将点P的坐标代入正比例函数y=-3x中，即可求出n的值，然后将P点坐标代入反比例函数y=中，即可求出反比例函数的表达式.
【详解】解：将点P的坐标代入正比例函数y=-3x中，得n=-3×（-1）=3，
故P点坐标为（-1,3）
将点P（-1,3）代入反比例函数y=中，得3=
解得：m=2
故反比例函数的解析式为：
【点睛】
此题考查的是求反比例函数的解析式，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式是解决此题的关键.
23、（1）b=2，c=1，D（2，3）；（2）E(4，-5) ；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)
【分析】（1）将点A分别代入y=-x2+bx+3，y=x+c中求出b、c的值，确定解析式，再解两个函数关系式组成的方程组即可得到点D的坐标；
（2））过点E作EF⊥y轴，设E（x，-x2+2x+3），先求出点B、C的坐标，再利用面积加减关系表示出△CBE的面积，即可求出点E的坐标.
（3）分别以点D、M、N为直角顶点讨论△MND是等腰直角三角形时点N的坐标．
【详解】（1）将A（-1,0）代入y=-x2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，
∴y=-x2+2x+3，
将点A代入y=x+c中，得-1+c=0，解得c=1，
∴y=x+1，
解，解得，（舍去），
∴D（2,3）.
∴b= 2 ，c= 1 ，D（2,3）.
（2）过点E作EF⊥y轴，
设E（x，-x2+2x+3）,
当y=-x2+2x+3中y=0时，得-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1（舍去），
∴B(3，0).
∵C(0，3)，
∴，
∴，
解得x1=4,x2=-1（舍去），
∴E(4，-5).
（3）∵A(-1，0),D(2，3),
∴直线AD的解析式为y=x+1,
设P（m，m+1），则Q（m，-m2+2m+3），
∴线段PQ的长度h=-m2+2m+3-（m+1）=，
∴当=0.5，线段PQ有最大值.
当∠D是直角时，不存在△MND是等腰直角三角形的情形；
当∠M是直角时，如图1，点M在线段DN的垂直平分线上，此时N1（2,0）；
当∠M是直角时，如图2，作DE⊥x轴，M2E⊥HE，N2H⊥HE,
∴∠H=∠E=90,
∵△M2N2D是等腰直角三角形，
∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90,
∵∠N2M2H=∠M2DE,
∴△N2M2H≌△M2DE,
∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，
∴E(2，-1.5)，
∴M2H=DE=3+1.5=4.5，
∴ON2=4.5-0.5=4，
∴N2(-4，0)；
当∠N是直角时，如图3，作DE⊥x轴，
∴∠N3HM3=∠DEN3=90,
∵△M3N3D是等腰直角三角形，
∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90，
∵∠DN3E=∠N3M3H，
∴△DN3E≌△N3M3H，
∴N3H=DE=3，
∴N3O=3-0.5=2.5，
∴N3(-2.5，0)；
当∠N是直角时，如图4，作DE⊥x轴，
∴∠N4HM4=∠DEN4=90,
∵△M4N4D是等腰直角三角形，
∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90，
∵∠DN4E=∠N4M4H，
∴△DN4E≌△N4M4H，
∴N4H=DE=3，
∴N4O=3+0.5=3.5，
∴N4(3.5，0)；
综上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式；根据函数性质得到点坐标，由此求出图象中图形的面积；还考查了图象中构成的等腰直角三角形的情况，此时依据等腰直角三角形的性质，求出点N的坐标.
24、100米
【分析】延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，设PM的长为x米，利用锐角三角函数即可求出x，再利用锐角三角函数即可求出QM，从而求出结论．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：
则∠PMA＝90°，
设PM的长为x米，
在RtPAM中，∠PAM＝45°，
∴AM＝PM＝x米，
∴BM＝x﹣100（米），
在RtPBM中，
∵tan∠PBM，
∴tan60°，
解得：x＝50（3），
在RtQAM中，
∵tan∠QAM，
∴QM＝AM•tan∠QAM＝50（3）×tan30°＝50（）（米），
∴PQ＝PM﹣QM＝100（米）
答：信号塔PQ的高度约为100米．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
25、（1）；（2）
【分析】（1）由题意直接利用特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
（2）根据题意利用公式cos（180°-a）=-cosa进行变形，并代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：（1）sin30°tan45°－cos30°tan30°＋sin45°tan60°
=
=．
（2）由题意cos(180°﹣a)=﹣cosa可知，
cos120°= cos(180°﹣60°)
=﹣cos60°
=．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，解题的关键是记住特殊角的三角函数值进行代入求值即可．
26、（1）200名；（2）124，0.16；（3）1925名
【分析】（1）由题意根据频数分布表中的数据，可以计算出随机抽取的学生人数；
（2）由题意根据（1）中的数据和频数分布表中的数据，可以计算出a和b的值；
（3）根据频数分布表中的数据，即可计算出我县这次这次九年级数学模拟测试成绩合格的学生有多少名．
【详解】解：（1）14÷0.07＝200（名），
即随机抽取了200名学生；
（2）a＝200×0.62＝124，b＝32÷200＝0.16，
故答案为：124，0.16；
（3）2500×（0.62+0.15）
＝2500×0.77
＝1925（名），
答：我县这次这次九年级数学模拟测试成绩合格的学生有1925名．
【点睛】
本题考查频数分布表和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意并求出相应的数据．
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