2013届天津市十二区县重点中学高三毕业班联考(一)文科数学试题及答案.doc

天津市十二区县重点学校2013届高三3月毕业班联考（一）数学文试题（word版）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的）
1.是虚数单位，复数=
A. B. C. D.
2.实数，满足条件，则目标函数的最大值为
A．7 B．8 C．10 D．11
3.“成等差数列”是“”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.阅读右面的程序框图，则输出的=
A．14 B．30 C．20 D．55
5.设，，，则它们的大小关系是
A. B. C. D.
6.将函数y=cos(x－)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式是
A. B. C. D.
7.已知函数，若对于任意，都有 成立，则的取值范围是
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ.
8.已知函数 .若数列满足且，则实数的取值范围是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9.已知集合，集合，则集合 .
正视图
俯视图
1.5
1.5
2
2
3
2
2
2
2
侧视图
第10题图
P
O
A
B
C
第11题图
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

11.如图，是⊙的直径，是⊙的切线，为切点，与的延长线交于点．若，，则的长为 .

12.已知双曲线的离心率，它的一条渐近线与抛物线的准线交点的纵坐标为 ，则正数的值为 .
13.已知函数，若，则实数的取值范围是 .
14.已知点为等边三角形的中心,,直线过点交边于点，交边于
点，则的最大值为 .
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
（分数）
0 40 50 60 70 80 90 100
频率
组距

0.010
0.005
0.020

0.025
a
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，后得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中实数的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高
一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数；
(Ⅲ)若从样本中数学成绩在与两个
分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举
法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大
于10的概率.
16．（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在中，若,，，求的值.
17.(本小题满分13分）
已知在四棱锥中，,,，分别是的中点.
(Ⅰ)求证；
(Ⅱ)求证；
(Ⅲ)若，求二面角的大小.

18．（本小题满分13分）
已知数列的首项为，对任意的，定义.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和数列的通项公式；
(ii)求数列的前项和；
（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.

19．（本小题满分14分）
已知函数，（其中实数,是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值；
(Ⅲ) 若存在，使方程成立，求实数的取值范围.

20．（本小题满分14分）
已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
O
x
y
M
N
（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.
2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）
数学试卷（文科） 评分标准

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
B
D
D
A
C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． ；10．； 11．； 12．；13．；14．
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中实数的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．
(Ⅲ)若从样本中数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率；
15．解：（Ⅰ）由
（分数）
0 40 50 60 70 80 90 100
频率
组距

0.010
0.005
0.020

0.025
a
可得 …………2分
（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:
……4分
数学成绩不低于60分的人数为
人 ……5分
(Ⅲ)数学成绩在的学生人数：
人 ……6分
数学成绩在的学生人数：
人 ……7分
设数学成绩在的学生为，
数学成绩在的学生为 …………8分
两名学生的结果为：，

…………10分
共种； …………11分
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有，，，，，，共7种， …………12分
因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为 …………13分
16．（本小题满分13分）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在中，若,，，求的值.
16．解：（Ⅰ） …………2分
…………4分
………………5分
由得，().，……7分
故的单调递增区间为(). ………………8分
（Ⅱ）,则 …………9分
…………10分
又 ………………………11分
…………12分
… ……………………13分
17．(本小题满分13分）已知在四棱锥中，
,,，
分别是的中点，
(Ⅰ)求证；
(Ⅱ) 证明；
(Ⅲ)若，求二面角的大小.

17．(Ⅰ) 证明:由已知得，
故是平行四边形，所以，---------1分
因为，所以, ---------2分
由及是的中点，得, ---------3分
又因为,所以. ---------4分
(Ⅱ) 证明:连接交于,再连接,
由是的中点及，知是的中点，
又是的中点，故， ---------5分
又因为，
所以. ---------7分
(Ⅲ)解：设,
则，又，，
故即， ---------8分
又因为，，
所以，得，故， ---------10分
取中点，连接,可知,因此, ---------11分
综上可知为二面角的平面角. ---------12分
可知，
故,所以二面角等于 . ---------13分
18．（本小题满分13分）已知数列的首项为，对任意的，定义.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和数列的通项公式；
(ii)求数列的前项和；
（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.
18．(Ⅰ) 解：(i),, ………………2分
.由得
当时，
=………4分
而适合上式，所以.………………5分
(ii)由(i)得： ……………6分

……………7分
…………8分
(Ⅱ)解：因为对任意的有，
所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分
又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分
设数列的前项和为，则，
当时，
， ……………11分
当时，

， …………12分
当时
所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分
19．（本小题满分14分）已知函数，（其中是实常数,是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值；
(Ⅲ) 若存在，使方程成立，求实数的取值范围.
19．解：（Ⅰ）当时，┈┈1分
故切线的斜率为， ┈┈┈┈ 2分
所以切线方程为：，即. ┈┈┈┈ 3分
（Ⅱ），
令，得 ┈┈┈┈ 4分
①当时，在区间上，，为增函数，
所以 ┈┈┈┈ 5分
②当时，在区间上，为减函数，┈┈┈┈ 6分
在区间上，为增函数，┈┈┈┈ 7分
所以 ┈┈┈┈ 8分
(Ⅲ) 由可得
， ┈┈┈┈ 9分
令，
┈┈┈┈ 10分

单调递减
极小值（最小值）
单调递增
┈┈┈┈ 12分
，，
┈┈┈┈ 13分
实数的取值范围为 ┈┈┈┈ 14分
O
x
y
M
N
20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在轴上
的椭圆过点，且它的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.
20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为┈┈┈┈┈┈┈ 1分
由已知得： 解得 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
所以椭圆的标准方程为： ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分
(Ⅱ) 因为直线：与圆相切
所以， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分
把代入并整理得： ┈7分
设，则有
┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分
因为，， 所以，┈┈ 9分
又因为点在椭圆上， 所以， ┈┈┈┈┈ 10分
┈┈┈┈┈ 12分
因为 所以 ┈┈┈┈┈ 13分
所以 ，所以 的取值范围为 ┈┈┈┈ 14分

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