资源描述
2.3 幂函数
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝
B．y＝x3
C．y＝2x
D．y＝x－1
2．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是 …( )
A．y＝x
B．y＝x2
C．y＝x3
D．y＝x－2
3．函数y＝x的图象是( )
4．给出以下结论：
(1)当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
(2)幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
(3)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
(4)幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为__________．
课堂巩固
1．下列函数中，在R上单调递增的是( )
A．y＝|x| B．y＝log2x
C．y＝x x
2．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
3．设α∈{－2，－1，－，，1,2,3}，已知幂函数f(x)＝xα是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则满足条件的α值的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
5．设全集U＝{x|y＝3x}，集合P＝{x|y＝log3x}，Q＝{x|y＝x}，则∁U(P∩Q)等于( )
A．{0}
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
6．函数y＝x2与y＝x在第一象限的图象关于直线__________对称．
7．若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则这个函数是f(x)＝________.
8．已知函数f(x)＝(a－1)·xa2＋a－1.
当a＝______时，f(x)为正比例函数；
当a＝______时，f(x)为反比例函数；
当a＝______时，f(x)为二次函数；
当a＝______时，f(x)为幂函数．
9．若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，－)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
1．当x>1时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的下方，则α的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
2．幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
3．若幂函数y＝xn对于给定的有理数n，其定义域和值域相同，则此幂函数( )
A．一定是奇函数
B．一定是偶函数
C．一定不是奇函数
D．一定不是偶函数
4．T1＝()，T2＝()，T3＝()，则下列关系式正确的是( )
A．T1＜T2＜T3 B．T3＜T1＜T2
C．T2＜T3＜T1 D．T2＜T1＜T3
5．(2009山东临沂一模，文13)当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__________象限．
6．函数f(x)＝xa，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在a∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，a可以取值的个数是( )
A．0 B．2 C．3 D．4
7．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋a的图象应是( )
8．已知函数f(x)＝－x－x3，x1、x2、x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于零 B．一定小于零
C．等于零 D．正负都有可能
9．已知函数y＝xm2－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是__________．
10．设函数f(x)＝若f(x)>1，则x的取值范围是__________．
11．如图，幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
答案与解析
2．3 幂函数
课前预习
1．C 根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数定义，所以C不是幂函数．
2．B 由幂函数的图象可知，y＝x2在(－∞，0)上y随x的增大而减少，为减函数．
3．C 函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且过(0,0)、(1,1)点，在x∈(0,1)上，图象恒在直线y＝x的上方．
4．(4) 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故(1)不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故(2)不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故(3)不正确．故选(4)．
课前巩固
1．C 作出各函数的图象或利用函数的性质作出判断．
2．B 作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．
3．A 由已知条件α<0且为偶函数，只有α＝－2.
4．D ∵f(x)是R上的减函数，
∴<1.结合函数y＝的图象可知x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
5．D U＝{x|x∈R}，P＝{x|x>0}，Q＝{x|x≥0}．
于是P∩Q＝{x|x>0}，∁U(P∩Q)＝{x|x≤0}．
6．y＝x 根据幂函数y＝x2与y＝x在第一象限的图象可知它们的图象关于直线y＝x对称．此外，也可根据互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称去判断．
7．y＝x－1(或y＝)
8．－2 0或－1 2 当f(x)为正比例函数时，即a＝－2；
当f(x)为反比例函数时，
解得a＝0或a＝－1；
当f(x)为二次函数时，
解得a＝；
当f(x)为幂函数时，a－1＝1，解得a＝2.
9．解：∵f(x)、g(x)都是幂函数，
∴可设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
由题意，得()α＝2，得α＝2.
(－2)β＝－，得β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
作出f(x)与g(x)的图象如图所示，从图中看出：
(1)当x<0或x>1时，f(x)>g(x)；
(2)当x=1时，f(x)=g(x)；
(3)当0<x<1时，f(x)<g(x)．
课后检测
1．C 作出图可知，当0<α<1，α＝0，α<0时均成立．
所以α的取值范围是(－∞，1)．
2．D 设f(x)＝xα，由2α＝，得α＝－2，
故f(x)＝x－2，其单调增区间是(－∞，0)．
3．D 可使用排除法，如y＝x满足题意，但既不是奇函数，又不是偶函数，所以A、B均不对．y＝x3满足题意，它是奇函数，所以C不对．
4．D 幂函数y＝x在第一象限内为增函数，故T2＜T1；又指数函数y＝()x在(0，＋∞)上为减函数，故T1＜T3.综上，T2＜T1＜T3.
5．二、四 当α＝－1时，图象过第一、三象限；当α＝时，图象过第一象限；当α＝1,3时，图象过一、三象限．综上，可知图象不过二、四象限．
6．B 因为x∈(－1,0)∪(0,1)，
所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xa>|x|，xa在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以a＝－1,1显然是不成立的．
当a＝0时，f(x)＝1>|x|；
当a＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当a＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，a的可能取值为0或－2，共2个．
7．B 当a>0时，图象y＝xa过原点，直线y＝ax＋a是上升的，且在y轴上的截距大于零，故C，D不成立；当a<0时，直线y＝ax＋a是下降的，故A不成立．故选B.
8．B ∵f(x)为R上的减函数，且为奇函数，
又∵x1＋x2>0，∴x1>－x2.
∴f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，
即f(x1)＋f(x2)<0.
同理，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0，
故f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
9．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 由幂函数的性质知m2－2m－3>0，故m<－1或m>3.
10．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 令2－x－1>1，即2－x>2.
由－x>1，得x<－1，它满足x≤0；令x>1，得x>1，它满足x>0.
综上，x<－1或x>1.
11．解：由题意，得m2－2m－3<0.
∴－1<m<3.
∵m∈Z，∴m＝0,1或2.
∵幂函数的图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3为偶数．
∵当m＝0或2时，m2－2m－3为－3，
当m＝1时，m2－2m－3为偶数－4，∴y＝x－4.
点评：幂函数y＝xα的图象与幂指数α的正负有关．当α>0时，图象恒过(0,0)，(1,1)点；当α<0时，图象是双曲线型，与坐标轴无交点．
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