《1.3.4三角函数的应用》教学案.doc

《1.3.4三角函数的应用》教学案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题．
2．过程与方法
利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，使学生感受到生活离不开数学，培养健康向上的高尚情操．
●重点难点
重点：通过三个实例增强学生的数学应用意识，体会数学来源于实际，又服务于实际的特性，提高学生分析问题、解决问题的能力．
难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型并加以解决．
教学方案设计
(教师用书独具)

●教学建议
在本课的教学中，建议教师
(1)注重培养学生在生产、生活中发现具有周期性变化现象的能力，并让学生举出具体的例子，体会周期性变化现象对我们的生产、生活的影响．
(2)培养学生用适当的方法搜集数据，并利用这些数据为一些简单的周期现象建立一个函数模型的能力．
(3)在选择实际问题时，不要过深、过难，要适度．
(4)引导学生体会函数建模思想、数形结合思想．
●教学流程
⇒⇒引导学生完成例2及其变式训练，解决三角函数在日常生活中的应用问题，并总结解决此类问题的规律方法.⇒ 通过例3及其变式训练，使学生掌握采取利用数据拟合，把实际问题三角函数模型化，从而解决实际问题的方法.⇒⇒
课前自主导学

课标解读
1.会用三角函数解决一些简单实际问题．(重点)
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点)

三角函数的应用
【问题导思】　
　现实生活中存在大量的周期现象，如简谐运动、气温变化规律、月圆与月缺、涨潮与退潮等，这些现象能否用相应的函数模型来刻画？
【提示】　能．
1．三角函数的实际应用
建立三角函数模型，解决实际问题的步骤：

2．三角函数的综合应用
(1)根据图象求出函数解析式，解答问题．
(2)根据函数解析式作出图象，分析出其性质解答问题．
(3)利用三角代换把其他数学问题转化为三角函数问题解答.
课堂互动探究

三角函数在物理学中的应用

图1－3－13
例1　已知，如图1－3－13所示为电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象．
(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么，正整数ω的最小值是多少？
【思路探究】　解答本题可先根据提供的数据求出T，进而得出ω，根据图象过(－，0)得出φ，从而得出函数解析式．
【自主解答】　(1)由图知：A＝300.
设t0＝－，t1＝，t2＝，
因为T＝t2－t0＝－(－)＝，
所以ω＝＝100π.
因为－＝－，所以φ＝＝，
所以I＝300sin(100πt＋)．
(2)问题等价于T≤，即≤，
所以ω≥200π，所以最小正整数ω＝629.

规律方法
1．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．
2．将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y＝Asin(ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．
变式训练
　已知弹簧上挂的小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为：
s＝4sin(2t＋)，t∈[0，＋∞)．
用“五点法”作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始运动(t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？
(2)小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？
(3)经过多少秒，小球往复运动一次？
【解】　列表如下：
t
－

2t＋
0

π

2π
s
0
4
0
－4
0
作出这个函数在一个周期内的简图如图．

(1)将t＝0代入s＝4sin(2t＋)，
得s＝4sin ＝2(cm)．
以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是2 cm，方向为正向．
(2)由图可知，小球上升到最高点时离开平衡位置的位移是4 cm，下降到最低点时，离开平衡位置的位移是－4 cm，负号表示方向竖直向下．
(3)由于这个函数的周期T＝＝π，∴小球往复运动一次所需的时间约为3.14 s．反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次.

三角函数在日常生活中的应用

图1－3－14
例2　如图1－3－14为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
【思路探究】　→→

【自主解答】　(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，圆心距地面高度h′＝4.8＋0.8＝5.6，
∴h＝5.6＋4.8sin(θ－)．
(2)点A在圆上转动的角速度是ω＝ rad/s.
故t秒转过的弧度数为θ＝t，
∴h＝5.6＋4.8sin(t－)，t∈ [0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin(t－)＝1得t－＝，∴t＝30(s)，
∴缆车第一次到达最高点时，用的最少时间为30秒．

规律方法
1．本例运用三角函数线和三角函数定义建立了三角函数模型，其中第(1)小题是把高度h表示为以θ＝∠AOB为自变量的函数，而第(2)小题则是把高度h表示为以时间t为自变量的函数．
2．物体作匀速圆周运动时，每秒钟转过的弧度数称为角速度，用ω表示，显然t秒钟转过的角θ与t的关系是θ＝ωt.因此匀速圆周运动的三角函数模型通常为y＝Asin(ωt＋φ)＋b.
变式训练

图1－3－15
　将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律．如图1－3－15所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O距离为r cm，求气针P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期，当φ＝，r＝ω＝1时，说明其图象与函数y＝sin t图象有什么关系？
【解】　过P作MP⊥x轴，则y＝rsin(ωt＋φ)，∴T＝，当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin(t＋)，其图象可由y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到.

数据拟合
例3　某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出的曲线如图1－3－16所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝4sin ωt＋b的图象．

图1－3－16
(1)试根据以上数据，求出y＝Asin ωt＋b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略进出港所用的时间)
【思路探究】　(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asin ωx＋b的周期；t＝0时的函数值；t＝3时取得的最大值，进而可求得ω，A，b的值，即得函数的表达式．
(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5＋7＝11.5(m)的时段，从而可回答问题．
【自主解答】　(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝.
又∵当t＝0时，y＝10；
当t＝3时，ymax＝13.
∴b＝10，A＝13－10＝3.
∴所求函数表达式为y＝3sin x＋10.
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应大于等于7＋4.5＝11.5(m)．
由拟合曲线可知，一天24 h，水深y变化两个周期．
令y＝3sin x＋10≥11.5，
可得sin x≥.
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k＋1≤x≤12k＋5(k∈Z)．
取k＝0，则1≤x≤5；
取k＝1，则25≤x≤17；
取k＝2时，则13≤x≤29(不合题意)．
从而可知该船在1点到5点或者13点到17点两个时间段可安全进港；船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长为16小时．

规律方法
　用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的步骤如下：
(1)搜集实际问题的数据，作出“散点图”；
(2)观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型；
(3)通过图象或解析式研究函数的性质；
(4)用得到的性质解决提出的实际问题．
变式训练
　估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式为D(t)＝sin[(t－79)]＋12，其中t表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
(1)如在波士顿，k＝6，试画出函数在0≤t≤365时的图象．
(2)在波士顿，哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？
【解】　(1)k＝6时，D(t)＝3sin[(t－79)]＋12，先用“五点法”画出f(t)＝3sin[(t－79)]的简图，令(t－79)＝0，，π，π，2π可得下表.
t
79
170
262
353
444
f(t)
0
3
0
－3
0
令t＝0，则f(0)＝3sin(－1.36)≈－2.9，
∵T＝365，∴f(365)＝f(0)≈－2.9，
将y＝f(t)(t∈[0，365])的图象向上平移12个单位长度，得到y＝D(t)的图象，如图所示．

(2)∵k＝6，D(t)＝3sin[(t－79)]＋12，
∴白昼时间最长的一天即为D(t)取得最大值的一天，此时，t＝170对应的是6月20日(闰年除外)．
同理可得，当t＝353即12月20日时白昼最短．
(3)令D(t)＞10.5，即3sin[(t－79)]＋12＞10.5，
∴[(t－79)]＞－(t∈[0，365])，
∴49＜t＜292，∴292－49＝243，
即：约有243天的白昼时间超过10.5小时.
易错易误辨析
忽略实际问题的意义致误

图1－3－17
典例　2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形ABCD(如图1－3－17)．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，记∠FAB＝θ，试求sin θ＋cos θ的值．
【错解】　由题设可知，Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH≌Rt△DAE，故AF＝BG＝CH＝DE.因为大正方形的面积与小正方形的面积分别为25和1，所以它们的边长分别为5和1，即AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1.
设AF＝x，则BF＝BG－GF＝x－1，
于是得sin θ＝＝，①
cos θ＝＝.②
在Rt△ABF中，AF2＋BF2＝AB2，即x2＋(x－1)2＝25，解得x＝4或x＝－3.
由①②知，当x＝4时，cos θ＝，sin θ＝；当x＝－3时，cos θ＝－，sin θ＝－.
综上所述，sin θ＋cos θ的值为±.
【错因分析】　错解中忽略了∠FAB＝θ为弦图中的Rt△ABF的一个内角，应为锐角，从而产生了增解．
【防范措施】　在求实际问题时不能完全按照数学方法解题，还要注意使实际问题有意义．
【正解】　同错解求得x＝4或x＝－3，又由已知条件可知，∠FAB＝θ为弦图中的Rt△ABF的一个内角，应为锐角，故x＝4，从而sin θ＋cos θ＝.

　解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．
(1)审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型．有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．
(2)建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这些便将实际问题转化成了纯数学问题．
(3)解模
运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决．
(4)还原评价
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判．

当堂双基达标
1．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋)，则当t＝ s时，电流强度I为________A.
【解析】　当t＝ s时，I＝5sin(100π×＋)＝5cos ＝2.5(A)．
【答案】　2.5
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离y cm和时间t s的函数关系式为：y＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
【解析】　ω＝2π，∴T＝＝1.
∴单摆来回摆动一次所需时间为1 s.
【答案】　1 s

图1－3－18
3．如图1－3－18为一半径是3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则ω＝________，A＝________.
【解析】　由题意知半径即是振幅，A＝3，因为水轮每分钟旋转4圈，即周期为T＝＝15 s，所以ω＝＝.
【答案】　　3

图1－3－19
4．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1－3－19所示，此图可以视为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象的一部分，试求此函数解析式．
【解】　由已知信号最大、最小
的波动幅度为3和－3.
∴A＝3.由图象知，
＝－＝，
∴T＝π.∴ω＝＝＝2.
∴y＝3sin(2x＋φ)．
由图象知点(，0)是第三个关键点，
∴×2＋φ＝π.∴φ＝.
∴所求函数解析式为y＝3sin(2x＋).
课后知能检测
一、填空题
1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
【解析】　由T＝＝＝，又f＝＝＝80，故每分钟心跳次数为80.
【答案】　80
2．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为________，________.
【解析】　T＝＝＝6，代入(0，1)点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
【答案】　6　
3．(2013·巢湖高一检测)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，元旦当天某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则人流量增加的时间段是________．
①[0，5]；②[5，10]；③[10，15]；④[15，20]．
【解析】　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故填③.
【答案】　③

图1－3－20
4．如图1－3－20是游乐场中的摩天轮上的某个座舱在旋转过程中离地面高度情况的一部分，则下列判断中正确的有________．(填序号)
①该座舱的运动周期是π；
②该座舱的振幅是2；
③该座舱在 s时达到最高点；
④该座舱在 s时离地面最近．
【解析】　＝－＝，∴T＝π，①正确；该座舱的振幅是1，②错误；该座舱在 s时没有到达最高点，③错误；显然④正确．
【答案】　①④
5．如图1－3－21表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为________．

图1－3－21
【解析】　设h＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，由图象知A＝6，T＝12＝，则ω＝＝.点(6，0)为“五点法”作图中的第一点，故×6＋φ＝0，
得φ＝－π，
∴h＝6sin(t－π)＝－6sin t(0≤t≤24)．
【答案】　h＝－6sin t(0≤t≤24)
6．有一种波，其波形为函数y＝sin x的图象，若在区间[0，t](t＞0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
【解析】　∵y＝sin x的图象在[0，t]上至少有2个波峰，函数y＝sin x的周期T＝4，
∴t≥T＝5.
【答案】　5

图1－3－22
7．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图1－3－22所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为________．
【解析】　观察图象结合题意，A＝，周期为4，得ω＝，由奇函数过原点得，cos φ＝0，又0＜φ＜π，得φ＝，所以f(x)＝cos(x＋)，
故f(1)＝cos(＋)＝cos π＝－.
【答案】　－

图1－3－23
8．如图1－3－23，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为________．
【解析】　不妨设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)．
由于半径为r＝＝1，所以振幅A＝1，其周期为T＝60秒，又是顺时针方向旋转，所以ω＝－＝－，
再由sin(0＋φ)＝，
得φ＝，
所以y＝sin(－t＋)．
【答案】　y＝sin(－t＋)
二、解答题
9．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
【解】　(1)当t＝0时，E＝110(伏)，即开始时的电压为110伏．
(2)T＝＝(秒)，即时间间隔为0.02秒．
(3)电压的最大值为220伏．
当100πt＋＝，即t＝秒时第一次取得这个最大值．
10．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元.9月份价格最低为5千元，根据以上条件求f(x)的解析式．

【解】　作出函数简图如图：
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝，将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12)，x∈N＋.
11．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大？
【解】　设出厂价波动函数为y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)．
易知A＝2，T1＝8，ω1＝，＋φ1＝⇒φ1＝－，
∴y1＝6＋2sin(x－)．
设销售价波动函数为y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)．
易知B＝2，T2＝8，ω2＝，＋φ2＝⇒φ2＝－，
∴y2＝8＋2sin(x－)．
每件盈利y＝y2－y1＝[8＋2sin(x－)]－[6＋2sin(x－)]＝2－2sin x，
当sin x＝－1⇒x＝2kπ－(k∈Z)⇒x＝8k－2时y取最大值．
当k＝1，即x＝6时，y最大．∴估计6月份盈利最大
.教师备课资源
(教师用书独具)
备选例题
　如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中矩形所在平面始终与地面垂直，设直线BC与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ)．

求：(1)θ的取值范围；
(2)f(θ)的解析式；
(3)f(θ)的值域．
【思路探究】　矩形在滚动过程中具有周期性，应用三角函数模拟函数f(θ)．根据已知题目中的信息求相关参数．
【自主解答】　(1)BC与地面所成的角，就是直线与平面所成的角，∴角θ的范围是[0，]．
(2)连接BD，则∠DBC＝，DB＝2，过D作地面的垂线，垂足为E，在Rt△BDE中，∠DBE＝θ＋，
∴f(θ)＝2sin(θ＋)(0≤θ≤)．
(3)∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，
∴≤sin(θ＋)≤1，
即f(θ)的值域为[1，2]．

规律方法
　解答本题的关键是利用平面几何知识，建立三角函数模型，再利用三角函数解决问题，三角函数是联系几何和代数的桥梁，它在几何和代数中都有广泛的应用．
备选变式
　如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是以下四个图形中的________．

【解析】　设点P逆时针旋转的弧度为α，由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝R·sin ，
∴d＝2Rsin ＝2Rsin ，
又R＝1，∴d＝2sin ，故结合正弦函数图象可知函数f(l)的大致图象为③.
【答案】　③