圆锥曲线二.doc

7.广东20.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的
点到的距离的最大值为；
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的
两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；
若不存在，请说明理由。
【解析】（1）设 由，所以
设是椭圆上任意一点，则，所以

当时，当时，有最大值，可得，所以
当时， 不合题意
故椭圆的方程为：
（2）中，，
当且仅当时，有最大值，
时，点到直线的距离为

又，此时点
8.湖北14．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则

A1　 　 A2
y

B2

B1
A
O
B
C
D
F1　　　　　　　　 F2 　 x

（Ⅰ）双曲线的离心率 ；
（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 .
考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.
难易度：★★
解析：（Ⅰ）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出
（Ⅱ）设,很显然知道,因此.在中求得故；
菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.
9.湖北21．（本小题满分13分）
设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
21．解：
（Ⅰ）如图1，设，，则由，
可得，，所以，. ①
因为点在单位圆上运动，所以. ②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为.
因为，所以
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为，；
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为，.
（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，
直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得
，即.
因为点H在直线QN上，所以.
于是，.
而等价于，
即，又，得，
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.

图2

图3

图1
O D x
y
A
M
第21题解答图

解法2：如图2、3，，设，，则，，
因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得
. ③
依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，
故. 于是由③式可得
. ④
又，，三点共线，所以，即.
于是由④式可得.
而等价于，即，又，得，
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.