圆锥曲线综合应用专题二.doc

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圆锥曲线综合应用专题二
1．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求的范围.
2．如图,过抛物线的对称轴上任
一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
⑴．设点P满足（为实数），
证明：；
⑵．设直线AB的方程是，过A、B两点
的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

3．一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．
（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；
（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；
（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．
4．已知平面上一定点和一定直线Ｐ为该平面上一动点，作垂足为，.
(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；
点Ｏ是坐标原点，两点在点Ｐ的轨迹上，若求的取值范围．
G
F
P
H
E
5．如图，已知E、F为平面上的两个定点 ，，且，·，（G为动点，P是HP和GF的交点）
（1）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹上存在两个不同的点、，且线段的中垂线与
（或的延长线）相交于一点，则＜（为的中点）．
6．已知动圆过定点，且与直线相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；
(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
7．已知若动点P满足
（1）求动点P的轨迹方C的方程；
（2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线的距离的最小值.
8已知抛物线x=2py(p>0)，过动点M(0,a)，且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p,
（1）求a的取值范围；
（2）若p=2，a=3，求直线L与抛物线所围成的区域的面积；
C

B
D

A

9．如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=
椭圆F以A、B为焦点且过点D，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点E满足,是否存在斜率
两点，且，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由.
10．已知是函数图象上一点，过点的切线与轴交于，过点作轴的垂线，垂足为 .
（1）求点坐标；
（2）若，求的面积的最大值，并求此时的值.

参考答案
1．解：（1）设双曲线的方程为 （1分）
则，再由得， （3分）
故的方程为 （4分）
（2）将代入
得 （5分）
由直线与双曲线C2交于不同的两点得：
（7分）
且① （8分）
设，则

（10分）
又，得
即，解得：② （12分）
由①、②得：，故k的取值范围为. （14分）
2．解⑴．依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程，得：
① …………………………………………………………… ２分
设A、B两点的坐标分别是、，则是方程①的两根，
所以，．　　……………………………………………………………………… ３分
由点P满足（为实数，），得， 即．
又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是，从而．

=
=
= =0 ………………………… 6分
所以，． ………………………………………………………………… 7分
⑵．由得点A、B的坐标分别是、．
由得，
所以，抛物线在点A处切线的斜率为．　 …………………………………… 9分
设圆C的方程是，
则 ……………………………………… 11分
解得：．……………………………………… 13分
所以，圆C的方程是． ……………………………………… 14分
3．解：（Ⅰ）设的坐标为，则且．……2分
解得， 因此，点 的坐标为． …………………4分
（Ⅱ），根据椭圆定义，
得，……………5分
，．
∴所求椭圆方程为． ………………………………7分
（Ⅲ），椭圆的准线方程为． …………………………8分
设点的坐标为,
表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．
则，．
， ……………………………10分
令，则，
当，， ，．
∴ 在时取得最小值． ………………………………13分
因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分
注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．
4．解:(1)由,得: ,………（2分）
设,则,化简得: ,………（4分）
点P在椭圆上,其方程为.………（6分）
(2)设、，由得：，
所以，、B 、C三点共线.且,得:,
即: …（8分）
因为,所以 ①………（9分）
又因为,所以 ②………（10分）
由①-②得: ,化简得: ,………（12分）
因为,所以.
解得: 所以的取值范围为. ………（1４分）
5．解：（1）如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，
建立平面直角坐标系.----------------------------------------1分
由题设，
∴，而-------------3分
∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆，
故点的轨迹方程是：-----------------4分
（2）如图2 ，设，，，
∴，且，--------------------------------6分
即
P
B
G
E
A

H
F
O

C
图2
又、在轨迹上，∴，
即，---------------8分
代入整理得：
∵，∴．---------------------10分
∵， ，∴．
∵，∴
∴，即＜．---------------14分
6．（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， ………………………………………………2分
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， ∴ 动点的轨迹方程为 ………………………5分
（2）由题可设直线的方程为，
由得
△， …………………………………7分
设，，则，…………9分
由，即 ，，
于是，……11分
即，，
，解得或（舍去），…………………………………13分
又， ∴ 直线存在，其方程为 ………………………………………14分
17．解：（1）设动点P（x，y），则
由已知得，
∴点P的轨迹方程是椭圆C：
（2）解一：由几何性质意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值.
设，入椭圆方程消去x化简得：

解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值.设切点为，，解得
，

解三：由椭圆参数方程设）
则Q与l距离

解四：设，且Q与l距离
由柯西不等式
，
18．解：(1)设直线L方程为：y=x+a与抛物线联立方程组得 x-2px-2ap=0
=4p+8ap>0 a>-
x+x=2p xx=-2ap
= ==
解得a-， -<a-
(2)若p=2，a=3，则直线L方程为：y=x+3 抛物线方程为x=4y
x-4x-12=0 方程两根为-2和6
直线与抛物线所围成区域的面积为：
S==x+3x-=
19．（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1,0） B(1,0) D(-1,) (1分)
设椭圆F的方程为 （2分）
得 （4分）
得
所求椭圆F方程 （6分）
（Ⅱ）由，显然
代入 （7分）
与椭圆F有两不同公共点的充要条件是
(8分)
即
设，
(9分)
（10分）
（11分）
得 得 （12分）
代入
（13分）
又 （14分）
解法2， 设，
①

②

得
①—② 得

设 得 ③ （9分）

得 得 ④ （11分）
由③、④得
且P（x0,y0）在椭圆F内部
得 （13分）
又 （14分）
20．解: （1）∵ ，2分
∴ 过点的切线方成为4分
令，得，即点的坐标为6分
（2），
∴ 9分
11分
由得，，
∴ 时，单调递增；时单调递减；13分
∴.∴ 当，面积的最大值为.14分

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